Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.141	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Füredi Zoltán , Kópházi József
Füzet:	1975/február, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Differenciálási szabályok, Szélsőérték differenciálszámítással, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/május: Pontversenyen kívüli P.141

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} (sin \frac{1}{x} + 2), ha x \neq 0 \\ 0, ha x = 0 \end{matrix} \end{matrix}

Ekkor minden

a \neq 0

mellett

f' (a) = - 2 a (sin \frac{1}{a} + 2) + cos \frac{1}{a}

, továbbá

f' (0) = 0

, mert

\begin{matrix} f' (0) = {lim}_{x \to \infty}^{} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = {lim}_{x \to \infty}^{} {- x (sin \frac{1}{x} + 2)} = 0. \end{matrix}

f (x)

függvénynek az

x = 0

helyen maximuma van, mivel

x \neq 0

esetén

sin \frac{1}{x} + 2 > 0

és

- x^{2} < 0

miatt

- x^{2} (sin \frac{1}{x} + 2) < 0

, és

f (0) = 0

Megmutatjuk, hogy

f' (x)

nem vált előjelet a 0-ban.

x_{n} = \frac{1}{2 n π}

sorozatra:

x_{n} \to 0

és

\begin{matrix} f' (x_{n}) = - \frac{1}{n π} sin (2 n π + 2) + cos 2 n π = 1 - \frac{2}{n π} > 0, \\ az y_{n} = \frac{1}{(2 n + 1) π} sorozatra pedig y_{n} \to 0 és \\ f' (y) = - \frac{2}{(2 n + 1) π} (sin (2 n + 1) π + 2) + cos (2 n + 1) π = - 1 - \frac{4}{(2 n + 1) π} < 0. \end{matrix}

Azt kaptuk, hogy a 0 bármely kis környezetében a derivált lehet negatív is, pozitív is. Az állítást ezzel beláttuk.

Füredi Zoltán (Budapest, Móricz Zs. Gimn.)

Megjegyzés. Természetesen más függvényt is találhatunk, amely hasonló tulajdonsággal bír.