Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.136	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálint L. , Balogh Z. , Bara T. , Boros P. , Császár Gy. , Czompó J. , Erdélyi L. , Erdős P. , Fulmer L. , Füredi Z. , Gergely I. , Hermann P. , Horváth L. , Kiss E. , Kollár János , Kópházi J. , Kószó K. , Kovács N. O. , Kozma I. , Lakner P. , Lelkes A. , Marcsik R. , Páles Zs. , Pálffy L. , Pesti G. , Rapp F. , Somogyi Á. , Stachó B. , Székely L. , Turán György , Turi Erzsébet , Wéber J. , Zombory J.
Füzet:	1973/április, 170 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Nevezetes egyenlőtlenségek, Koszinusztétel alkalmazása, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: Pontversenyen kívüli P.136

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott szakaszok hosszát csökkenő sorrendben $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ betűvel, azaz $a ≧ b ≧ c ≧ d ≧ e$ . Megmutatjuk, hogy az

\begin{matrix} I. a, b, c, II. b, c, d, III. c, d, e \end{matrix}

szakaszhármasokból szerkesztett háromszögek közül legalább az egyik hegyesszögű.
Az ellentétes esetben ugyanis mindhármukban a legnagyobbik szög cosinusa

0

vagy negatív volna, tehát a cosinus-tétel alapján egyidejűen fennállana

\begin{matrix} a^{2} & ≧ b^{2} + c^{2} és & (1) \\ b^{2} & ≧ c^{2} + d^{2} és & (2) \\ c^{2} & ≧ d^{2} + e^{2} . & (3) \end{matrix}

Ezek összegéből pedig

c ≧ e

figyelembevételével

\begin{matrix} a^{2} ≧ c^{2} + 2 d^{2} + e^{2} ≧ 2 d^{2} + 2 e^{2} = {(d + e)}^{2} + {(d - e)}^{2} ≧ {(d + e)}^{2}, \end{matrix}

(4)

azaz ‐ mivel (pozitív) szakaszokról van szó ‐

\begin{matrix} a ≧ d + e \end{matrix}

következnék, ami ellentmondásban van azzal, hogy az

a, d, e

szakaszhármasból lehet háromszöget szerkeszteni.
Eszerint (1), (2) és (3) közül legalább az egyik nem áll fenn, akkor pedig a megfelelő háromszögnek még a legnagyobbik szöge is hegyesszög.

Turán György (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Bizonyíthatjuk (4)-et (2) felhasználása nélkül is, illetve (2)-t a gyengébb

b ≧ c

egyenlőtlenséggel pótolva. Így (1)-ből, a (3)-at is felhasználva

\begin{matrix} a^{2} ≧ 2 c^{2} ≧ 2 (d^{2} + e^{2}) . \end{matrix}

Eszerint már az I. és III. háromszögek közül is legalább az egyik hegyesszögű.