|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.134 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh Z. , Bara I. , Bartolits I. , Boros P. , Császár Gy. , Dobor T. , Fulmer L. , Füredi Z. , Geréb M. , Gergely I. , Hermann P. , Kémeri Viktória , Kiss E. , Kollár János , Kópházi J. , Lakner Péter , Lelkes A. , Marcsik R. , Oláh Vera , Páles Zs. , Réti Z. , Reviczky J. , Stachó B. , Turán György , Turi Erzsébet , Varga László (Debrecen) , Wéber J. , Zombory J. |
Füzet: |
1973/március,
119 - 120. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatósági feladatok, Oszthatóság, Természetes számok, Számelmélet alaptétele, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1972/március: Pontversenyen kívüli P.134 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kérdéses szám (vagy számok) a , , , , hatványok mindegyikével osztható, ezért utolsó jegye csak 2-es lehet a megengedett 1-es és 2-es közül; tízes értékű jegye csak 1-es, hiszen 22 nem osztható már 4-gyel sem; százas értékű jegye is csak 1-es, mert 212 már 8-cal sem osztható. További egy‐két próba mutatja, hogy 1112 a 16-tal osztva maradékot ad ‐ ami csak a 16 fele, 8 lehet, mert a 8 még egész számszor van meg benne, másrészt 1000 is 8-at ad, hiszen még egész (páratlan), ennélfogva osztható 16-tal, és hasonlóan osztható -nel, osztható -nal. A | | hányadosok sorozatából azt sejtjük, hogy páratlan hányadost kapva az eddig megtalált számvégződés elé 1-es lép, páros hányados után pedig 2-es a következő új számjegy. Ezt fogjuk bizonyítani: ha az 1-esekkel és 2-esekkel írt -jegyű szám osztható -nel és az hányados páratlan, akkor -nel az szám osztható, ha pedig páros, akkor . Valóban, az első esetben | | egész, mert a tört számlálója páros. És ugyanezt mondjuk ki végkövetkeztetésnek a második esetben is: | |
Azt kaptuk tehát, hogy a szám végződésének jegyei egymás után egyértelműen adódnak, a tízes számrendszer 100-jegyű számai közt egyetlen olyan van, mely osztható -nal és amelyben csak 1-es és 2-es számjegyek fordulnak elő. Továbbá, hogy ez az állítás a 100-asok helyén (ti. mint kitevő és mint jegyek száma) bármely természetes számra érvényes. Turán György (Budapest) Megjegyzések. 1. Lényegében ugyanígy lehet bizonyítani az állítást, ha az 1-es számjegy helyett páratlan jegyet mondunk benne, a 2-es helyett pedig párosat, de 0-tól különbözőt. Lakner Péter (Budapest) 2. Érvényes az állítás bármely alapú (, egész) számrendszerben is.
|
|