Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.133	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1973/október, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Polinomok, Természetes számok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/március: Pontversenyen kívüli P.133

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} {(\binom{2 n}{0})}^{2} - {(\binom{2 n}{1})}^{2} + {(\binom{2 n}{2})}^{2} - {(\binom{2 n}{3})}^{2} + ... - {(\binom{2 n}{2 n - 1})}^{2} + {(\binom{2 n}{2 n})}^{2} = {(- 1)}^{n} (\binom{2 n}{n}) . \end{matrix}

(1)

Megmutatjuk, hogy az állítás bal oldalán álló kifejezés az

\begin{matrix} {(x - 1)}^{2 n} {(x + 1)}^{2 n} \end{matrix}

polinom kifejtett alakjában

x^{2 n}

együtthatója, a jobb oldal pedig

\begin{matrix} {(x^{2} - 1)}^{2 n} \end{matrix}

kifejtésében

x^{2 n}

együtthatója. Ezek alapján az állítás abból következik, hogy a mondott két kifejezés ‐ mint a hatványozási azonosságok alapján kifejtés nélkül látható ‐ azonos egymással, kifejtésükben a megfelelő hatványok együtthatói egyenlők.
Valóban, utóbbi állításunkon nincs mit bizonyítani, az első polinom céljára pedig kifejtéssel

\begin{matrix} {(x + 1)}^{2 n} = (\binom{2 n}{0}) x^{2 n} + (\binom{2 n}{1}) x^{2 n - 1} + ... + (\binom{2 n}{k}) x^{2 n - k} + ... + (\binom{2 n}{2 n}), \\ {(- 1 + x)}^{2 n} = (\binom{2 n}{0}) - (\binom{2 n}{1}) x + ... + {(- 1)}^{2 n - k} (\binom{2 n}{k}) x^{k} + ... + (\binom{2 n}{2 n}) x^{2 n}, \end{matrix}

és a kifejtések tagonkénti összeszorzásában akkor és csak akkor kapjuk az

x^{2 n}

hatványt, ha a párba kapcsolt két tagban

x

kitevőinek összege

2 n

, vagyis a fenti elrendezésben éppen az egymás alatt-fölött álló tagok párba állításával. Az ezek együtthatóiból képzett szorzatok összege pedig láthatóan (1) baloldala. Ezzel a bizonyítást befejeztük.