Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.128	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Császár Gyula , Füredi Zoltán , Kelen Miklós , Székely Albert , Szeredi János , Totik Vilmos
Füzet:	1975/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Négyzetek, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/január: Pontversenyen kívüli P.128

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a négyzetet $A B C D$ -vel, a töröttvonal egymás utáni szögpontjait $T_{1}$ , $T_{2}$ , $...$ , $T_{n}$ -nel. A feltevés szerint

\begin{matrix} T_{1} T_{2} + T_{2} T_{3} + ... + T_{n - 1} T_{n} > 1000. \end{matrix}

Vetítsük a szögpontokat az

A B

és az

A D

oldalakra, legyen

T_{i}

vetülete

T'_{i}

illetve

T''_{i}

, ekkor

\begin{matrix} T_{i} T_{i + 1} ≦ T'_{i} T'_{i + 1} + T''_{i} T''_{i + 1} (z = 1, 2, ..., n - 1), \end{matrix}

így a

T'_{1} T'_{2} ... T'_{n}

T''_{1} T''_{2} ... T''_{n}

utakra

\begin{matrix} T'_{1} T'_{2} ... T'_{n} + T''_{1} T''_{2} ... T''_{n} > 1000, \end{matrix}

ezért legalább az egyik út nagyobb mint 500, vehetjük, hogy az első út ilyen. A vetületek természetesen nem mindenütt az indexek növekvő vagy csökkenő rendjében követik egymást. Jelölje közülük az

A

-hoz legközelebbit

M_{1}

a következő tőle különbözőt

M_{2}

...

, az utolsót

M_{r}

, ahol

r ≦ n

és

M_{1} M_{r} < A B = 1

. Azt mondjuk, hogy az

M_{j} M_{j + 1}

szakasz

(j = 1, 2, ..., r - 1)

valamely

X

belső pontja

α_{j}

-szeresen van fedve, ha

X

-et töröttvonalunk

α_{j}

számú szakaszának vetülete tartalmazza (pl.

A

és

B

0-szorosan vannak fedve). Ekkor

\begin{matrix} T'_{1} T'_{2} ... T'_{n} = α_{1} \cdot M_{1} M_{2} + α_{2} \cdot M_{2} M_{3} + \\ + ... + α_{r - 1} \cdot M_{r - 1} M_{r} . \end{matrix}

Ha mármost minden

α_{j}

kisebb volna 500-nál vagy legföljebb egyenlő volna vele, akkor a jobb oldal kisebb lenne 500-nál, holott a megválasztás szerint nagyobb nála. Van tehát olyan

j

, amelyre

α_{j} > 500

, és ekkor az

M_{j} M_{j + 1}

szakasz bármely

X

belső pontján át

A B

-re merőlegesen állított egyenes legalább 501 pontban metszi a törött vonalat. Ezt kellett bizonyítani.

Szeredi János (Budapest, II. Rákóczi F. Gimn.)

Megjegyzések 1. A feladat feltevésének azt az elemét, hogy a töröttvonal nem metszi önmagát, abban használtuk ki, hogy az

X

-ben emelt merőleges ugyanannyi pontban metszi a töröttvonalat, ahányszorosan

X

fedve van. Ez ugyanis nem állna akkor, ha

X

a töröttvonal két szakasza közös (belső) pontjának a vetülete volna.
2. Igaz a feladat következő általánosítása is: egy egységnyi oldalhosszúságú négyzet belsejében meg van rajzolva szakaszoknak egy olyan rendszere, amely szakaszok összhossza

2 n

-né1 nagyobb (

n

természetes szám), és amely szakaszok közül bármely kettőnek legföljebb végpontjuk közös, akkor rajzolható a négyzet valamelyik oldalával párhuzamosan olyan egyenes, amely a töröttvonalat legalább

(n + 1)

pontban metszi.

Kelen Miklós (Budapest, Berzsenyi D. Gimn.)