|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.126 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bálint L. , Balogh Z. , Banai M. , Bara T. , Bartolits I. , Boros P. , Füredi Z. , Gergely I. , Hermann P. , Kelen M. , Kollár István , Nagy S. , Neumann A. , Reviczky J. , Szász Gy. , Székely A. , Szeredi J. , Totik V. , Ujfalussy M. , Wéber J. |
Füzet: |
1973/március,
118 - 119. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Skatulyaelv, Természetes számok, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1972/január: Pontversenyen kívüli P.126 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a kiválasztott számok száma , és maguk a számok , , , , úgy választva az indexeket, hogy
és vegyük hozzájuk azt a számot, amennyivel legnagyobbikuk meghaladja rendre az előzők mindegyikét: | | (3) | ekkor az előttünk álló számok száma (2) alapján Az új számokra (1) alapján | | és ezek is egészek, tehát ezek is a kiválasztásra megengedett számok közül valók. Mivel (4) szerint az (1) és (3) alatt felsorolt számok száma legalább 2-vel nagyobb, mint a megengedett számok száma, azért (1) és (3) alatt legalább két olyan szám van, amely kétszer szerepel. És mivel külön‐külön (1) is (3) is csupa különböző számot tartalmaz, ez csak úgy lehet, ha egy (1)-beli szám egyenlő egy (3)-beli számmal, mondjuk ekkor tehát vagyis teljesül az állítás, hacsak . Amennyiben pedig történetesen lenne, vagyis , akkor még mindig vehetjük (1) és (3) másik közös számát: | | ahol már és . Az állítást bebizonyítottuk. |
|