|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.121 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh Zoltán , Császár Gyula , Hermann Péter , Reviczky János , Székely Albert |
Füzet: |
1974/november,
148 - 152. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tengely körüli forgatás, Merőleges affinitás, Vetítések, Transzformációk szorzata, Transzverzálisok, Feuerbach-kör, Párhuzamos szelők tétele, Ellipszis, mint mértani hely, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1971/december: Pontversenyen kívüli P.121 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. a) Ha -ként történetesen éppen az háromszög magasságpontja van megadva (ami belső pont, ha a háromszög hegyesszögű), akkor tulajdonképpen nincs mit bizonyítani, hiszen ekkor , és a magasságtalppontok és ezért az állításbeli pont rajta van az háromszög Feuerbach-féle körén, márpedig a kör különleges esete az ellipszisnek; az állítás ekkor tehát igaz. (A helyzetet az 1. ábra jobb oldali fele mutatja, ha minden betűjel felső kiegészítő vesszőjét elhagyjuk.)
1. ábra b) tetszőleges megválasztása esetén bizonyításunkat egy alkalmas transzformációval visszavezetjük az a) esetre. Azt akarjuk elérni, hogy az szög két szárának képei merőlegesen álljanak egymásra, ugyanígy a szög szárainak képei is, mert így képe a háromszög képének magasságpontja lesz. Húzzunk párhuzamost -n át -vel-és -val, jelöljük az egyenesen keletkezett metszéspontjukat -gal, illetve -gal. Vegyünk másrészt egy olyan síkot, mely alakzatunk síkját az egyenesben metszi, rajzoljuk meg benne egyik oldalán az és átmérőjű félköröket, jelöljük metszéspontjukat -vel; létrejön, mert a félkörök metszik egymást, ugyanis a és háromszögek hasonló helyzetűek a centrumra nézve, ezért pontjainak sorrendje az egyenesen: , , , , . Vetítsük végül egész alakzatunkat a egyenessel párhuzamos vetítősugarakkal -re és jelöljük minden egyes pont vetületét -vel. (Az 1. ábrán -t az -be belefordítva látjuk úgy, hogy az -nek -t nem tartalmazó oldalán legyen.) Vetítésünk mellett egy egyenesen levő pontok vetületei egy egyenesen adódnak (speciálisan az egyenes minden pontjának képe önmaga), párhuzamos egyenesek vetületei párhuzamosak, és szakasz felezőpontjának vetülete felezi a szakasz vetületét. Ezek szerint azonos az -n át -vel és -n át -vel húzott párhuzamosok metszéspontjával, e két párhuzamosból a , ill. egyenes éppen -t, ill. -t metszi ki, mert , a felhasznált körök Thalész-tulajdonsága alapján merőlegesen állnak -re, ill. -re. Ennélfogva valóban magasságpontja az háromszögnek. Továbbá a -es és a -as indexű pontok vetülete rendre felezi a megfelelő képszakaszt, így a feladat állításában szereplő pont vetülete rajta van az háromszög Feuerbach-körén. Így már csak azt kell belátnunk, hogy -nek -beli eredetije ‐ mondhatjuk azonban így is: a körnek irányú párhuzamos vetülete az síkra ‐ ellipszis. (A tananyagból ezt egy kör párhuzamos vetületéről elsődlegesen csak azokra az esetekre tudjuk, ha a irány merőleges vagy az -re, vagy az -re, de síkbeli nyújtással könnyen kiterjeszthető minden olyan esetre, ha és metszésvonala merőleges a vetítési irányra; ekkor is az ellipszis egyik tengelye párhuzamos a metszésvonallal. Ezt az olvasóra hagyjuk.) II. Megmutatjuk, hogy -nak -re való irányú vetülete ‐ nevezzük egyelőre vonalnak ‐ akkor is ellipszis, ha nem merőleges az és metszésvonalára. Ezt a következő lépésekben végezzük: 1. -t belefordítjuk -be ‐ új helyzete a kör ‐, egymás megfelelőinek nevezzük -nek és -nak egy-egy olyan pontját, melyek ugyanazon pontjából keletkeztek vetítés, illetve elfordítás útján, és megállapítunk egy síkbeli rokonságot a megfelelő pontpárok közt, ún. ferde affinitást. (Az alakzatból mintegy kikapcsoljuk -t.) ‐ 2. Meghatározzuk -nak azt a két, egymásra merőleges fél átmérőjét, amelyek -beli megfelelői ugyancsak merőlegesek egymásra; az utóbbiak lesznek az állításunk szerinti ellipszis tengelyei. ‐ 3. Végül tetszőleges pontjáról kimutatjuk, hogy rajta van azon az ellipszisen, melynek szimmetriatengelyei a most mondott képek. 1. Rátérve tervünk végrehajtására, legyen (a fenti) két pontja és , az -nek két pontja , úgy, hogy ‐ tehát pl. és egymás vetületei ‐, és -t az -be belefordítva az metszésvonaluk körül, legyen , új helyzete , . Azt állítjuk, hogy (2. ábra).
2. ábra Ugyanis ha metszi -et egy pontban, akkor vetülete, továbbá a leforgatottja is önmaga, ezért átmegy rajta is, is, és a párhuzamos vetítés, ill. a mozgás alapján tehát és a szög szárainak párhuzamos szelői. Ha pedig párhuzamos -sel, akkor sem metszheti -et (mert a sík miatt párhuzamos -sel), ezért sem metszi, tehát párhuzamosak -sel és -val, így pedig és paralelogrammák, , ennélfogva is paralelogramma. Eszerint ‐ és a megfelelő egyenesekről közben mondottak alapján ‐ a és alakzatok közti kapcsolat csak abban tér el a merőleges affinitástól, hogy a megfelelő pontokat összekötő (pl. ) egyenesek közös iránya nem merőleges -re, a megfelelő egyenesek közös pontjait tartalmazó tengelyre. (Ugyanis mindenesetre merőleges -re, és ha is merőleges lenne rá, akkor is merőleges lenne rá, mint az -re merőleges sík egyenese; ezt az esetet pedig a tankönyvből ismerjük.) Emiatt tesszük a talált rokonság elnevezésében a,,ferde'' jelzőt az,,affinitás'' elé, a,,merőleges'' jelző helyére. Az tengellyel, és a , pontpárral meghatározott ferde affinitásban a vetület és a kör egymás képei, megfelelői.
3. ábra 2. Legyen középpontja , -en levő vetülete , leforgatottja , és messék -et -nak a keresett egymásra merőleges átmérői (meghosszabbításaik) -ban, -ban (3. ábra). Követelésünk szerint a szakasz -ból is derékszögben látszik, ezért is, is rajta van a szakasz fölötti Thalész-körön; eszerint -nek a középpontja rajta van egyrészt -en, másrészt az húr felező merőlegesén. Így egyértelműen megszerkeszthető, és vele , mindig létrejön. Osszuk szét a és jelet e kör és metszéspontjaira úgy, hogy -nak az , egyenesen levő egyik-egyik pontját -lal, -lal jelölve, ezek -beli és megfelelőire álljon: ; ekkor azt állítjuk, hogy az állításbeli ellipszis fél nagytengelye az szakasz, fél kistengelye az szakasz, tehát az ellipszis előállítható az közepű, sugarú kör (főkör) irányú és arányú összenyomásával. 3. A tervezett bizonyításhoz szükségünk lesz a kővetkező jelölésekre. A negyedkör tetszőleges belső pontja , ennek on levő vetülete , az és egyenesek metszéspontja ; e pontok megfelelője a vetületi rendszerben rendre (a -n), , , továbbá a kör és az félegyenes metszéspontja , és sugara . A nyilvánvalóan hasonló háromszögpárok, a megfelelő pontpárok összekötő egyeneseinek párhuzamos volta és a szelők tétele alapján | | tehát Másrészt értelmezése alapján | | eszerint és hasonló derékszögű háromszögek, tehát | | Ezzel (1)-et osztva pedig vagyis , a vonal pontja, rajta van az állításunk szerinti ellipszisen. Mindezek szerint valóban ellipszis, és evvel a feladat állítását bebizonyítottuk. Megjegyzés. Eredményeinkből az is következik, hogy ellipszisnek merőleges affin megfelelője is ellipszis. Ha ugyanis pl. nem merőleges -re, és eredeti háromszögünket ‐ a ponttal és a rajtuk átmenő (immár bebizonyított) ellipszissel együtt ‐ merőleges affinitással úgy transzformáljuk, hogy az szög képe derékszögnek adódjék, ebből az alakzatból újabb merőleges affinitással egy háromszöget kaphatunk, Feuerbach körének pontjával, eszerint az eredeti ellipszisnek az első affinitásbeli képe is ellipszis. (Az első affinitás tengelyének -t véve, képéül az fölötti Thalész-kör és az -en átmenő (merőleges) egyenes metszéspontja választandó; és ha a második tengely , és hasonlóan a szög képét kívánjuk derékszöggé transzformálni, akkor újabb képe már magasságpont, mert újabb képe is merőleges lesz -re. A háromszög Feuerbach-körére vonatkozó legszűkebb ismeretanyagot legutóbb az F. 1753. feladat megoldásában bizonyítottuk be, K. M. L. 44 (1972), 195. oldal. ‐ Szerk. |
|