A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. | | (1) |
1. Az esetben azt kell bizonyítanunk, hogy ha , akkor | | (2) |
A jelöléssel egyrészt másrészt | | Ezeket (2)-be beírva, a bizonyítandó állítás ekvivalens átalakításokkal a következőbe megy át: Itt a nevezők (3) szerint pozitívok, így újabb ekvivalens átalakításokkal | |
Az utolsó alak helyessége nyilvánvaló, ezzel (2)-t bebizonyítottuk. Ha -et -val jelöljük, és (1)-et a pozitív -lel osztjuk, a | | (4) | egyenlőtlenséget kapjuk. Mi ezt fogjuk bizonyítani, és közben az és számokról csak azt használjuk fel, hogy Rögzített mellett a (4) bal oldalán álló kifejezés függvénye, jelöljük ezt a függvényt -szel. Ez a függvény az helyen egyenlő (4) jobb oldalával (1. ábra), így elég lesz belátni, hogy monoton fogy a szakaszon.
1. ábra Mivel a függvény deriváltja , a Newton-Leibniz formula szerint
Emiatt | | (6) | azaz a | | (7) | függvénynek ún. integrálközepe:
2. ábra Általában egy függvény integrálközepe egy szakaszon az a konstans, amivel a függvényt helyettesítve az integrálja nem változik meg: az függvénynek az szakaszon az integrálközepe , ha (2. ábra) | | Ha szigorúan monoton fogy az , szakaszon, akkor | | (9) | hiszen -et az egész szakaszon -val helyettesítve az integrál nő, -vel helyettesítve pedig fogy: | |
Ennek alapján azt várjuk, hogy ha a függvény monoton fogy a szakaszon, akkor a szakaszon vett integrálközepe az monoton fogyó függvénye. Valóban, ha és , akkor , és
tehát az konstansokkal a szakaszon vett integrálja nagyobb integráljánál, és így integrálközepe kisebb -nél: | |
Ha tehát belátjuk, hogy a (7) alatti függvény monoton fogy a szakaszon, akkor ebből következik, hogy ott a (8)-cal definiált függvény is monoton fogy, és azt már beláttuk, hogy ebből következik (4). A függvény deriváltja, | | mellett negatív, mert miatt | | tehát | |
állításunkat ezzel bebizonyítottuk. |
|