A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatot a koordináta-geometria eljárásával oldjuk meg. Legyen a két tengely az , egyenespár közép párhuzamosa, illetőleg az egyenes, legyen egyenlete , ekkor egyenlete . A koordináta-rendszer használata könnyűvé teszi annak tekintetbevételét, hogy és az -nek ugyanazon az oldalán vannak-e, vagy ellentétes oldalán. Ugyanis -t előjellel ellátva ‐ vagyis helyette abszcisszáját írva ‐, és akkor és csak akkor vannak ugyanazon (ill. ellentétes) oldalán, ha a két abszcissza szorzata pozitív (ill. ha negatív). Eszerint a feladat két kérdésének elindítását egybe is foglalhatjuk így: legyen, ahol az eredeti kérdésben , a kiegészítő kérdésben .
Előre látjuk, hogy ha a sík egy pontján át rajzolható egy megfelelő egyenes, akkor ennek az egyenesnek minden pontja megfelel szerepére. Az is világos, hogy az és egyeneseknek ‐ , ill. kivételével ‐ minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez, mert ha -nek egy -től különböző pontja , akkor -nek -től, azaz -től távolságra levő pontjai -vel együtt megfelelő pontpárt alkotnak, éspedig a -vel egyező oldalon levő az eredeti kérdés szempontjából, az túlsó oldalán levő pedig a kiegészítő kérdés szempontjából. Maga viszont nyilvánvalóan nem felelhet meg, sem az pont. Mármost az az állítás (föltevés), hogy hozzátartozik a keresett mértani helyhez, azt jelenti, hogy tartozik hozzá olyan szám, amellyel és és az előírásnak megfelelő pontok, tehát rajta van a egyenesen, koordinátái kielégítik ennek egyenletét, azaz teljesül átrendezve | | (2) |
Miután fenti megjegyzésünkkel az -beli és -beli pontokat már megvizsgáltuk a mértani hely szempontjából, elég tekintenünk az ordinátájú pontokat. Így (1) a -re mint ismeretlenre vonatkozóan valódi másodfokú egyenlet, és egyik gyöke sem . fent mondott létezését természetesen úgy értjük, hogy a hozzá tartozó valós, tehát (2) diszkriminánsa nem negatív, azaz teljesül: Innen -val osztva és kellően rendezve, , azaz esetében | | (4) | , azaz esetén pedig | | (5) |
Ezek szerint az eredeti kérdésben (4), a kiegészítő kérdésben (5) a szükséges feltétele annak, hogy a pont ‐ ahol ‐ hozzátartozzék a mértani helyhez. (4)-ben az egyenlőség annak az ellipszisnek a pontjaira teljesül, melynek szimmetriatengelyei azonosak a koordinátatengelyekkel, az tengelyen fekvő szimmetriatengely fele-hossza , a másiknak a fele-hossza . Az utóbbi tengely végpontjai tehát és , ezeket már fentebb kizártuk. (Ha , akkor körről van szó.) Az egyenlőtlenség jelével pedig az ellipszisre (körre) nézve külső pontok teljesítik (4)-et, amelyekre nézve az ordináta abszolút értéke nagyobb, mint az ugyanazon abszcisszán levő ellipszispont ordinátájának abszolút értéke, ill. esetén minden . (5)-ben az egyenlőség annak a hiperbolának a pontjaira teljesül, melynek képzetes tengelye az tengely, a tengely fele-hossza (a szokásos jelölés szerinti ), valós (a fókuszokat tartalmazó) tengelye az tengely, az utóbbinak a fele-hossza (a szokásos jelölés szerinti ), tehát a hiperbola csúcsai és (ezeket már kizártuk), fókuszainak ordinátái . Az egyenlőtlenség jelével viszont a hiperbolára nézve külső pontok teljesítik (5)-öt, más szóval a két ág közti, az tengely felé eső pontok, a fókuszokat nem tartalmazó síkrész pontjai. A hiperbola aszimptotái egyszersmind annak a téglalapnak az átló egyenesei, amelynek oldalegyenesei a (4) ellipszishez a tengelyvégpontokban húzott érintők. Fordítva, ha valamely pontra teljesül (3), és , akkor a (2) egyenletnek van -tól különböző valós gyöke, jelöljük ezt -vel. Erre a -re teljesül (1) is, ami éppen azt jelenti, hogy a és pontokon átmenő egyenes átmegy a ponton is, tehát ez az egyenes megfelel a feladat követelményeinek. Ha tehát úgy (3) a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a pont a vizsgált mértani helyhez tartozzék. Meg lehet mutatni, hogy ha rajta van az ellipszisen, ill. hiperbolán (és , ), akkor a (2)-ből kapott egyetlen érték az ellipszis (hiperbola) -beli érintőjét határozza meg; ha pedig külső pont, akkor a kapott két érték a kúpszelet -on átmenő két érintőjét adja ‐ természetesen az (1)-be való behelyettesítéssel. Végül a koordinátarendszertől függetlenül így mondható ki eredményünk. Tekintsük azt az ellipszist, melynek egyik tengelye az szakasz (ill. azt a hiperbolát, melynek valós tengelye az szakasz), a másik tengelyének hossza pedig egységnyi hosszú. A keresett mértani helyet mindazok a pontok alkotják, amelyeken át lehet érintőt fektetni az ellipszishez (hiperbolához), kivéve közülük az , pontokat.
|