|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.115 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh Z. , Bezdek K. , Breuer Péter , Császár Gy. , Gergely I. , Hermann P. , Kelen M. , Kollár J. , Meszéna G. , Nemeskéri I. , Siklós T. , Stachó B. , Székely A. , Szeredi J. , Varga K. |
Füzet: |
1972/szeptember,
26 - 27. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Eltolás, Halmazelmélet, Térfogat, Térgeometria alapjai, Helyvektorok, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1971/október: Pontversenyen kívüli P.115 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nagyítsuk a poliédert az centrumból a kétszeresére, és jelöljük a kapott poliédert -vel. Megmutatjuk, hogy a poliéderek mindegyike benne van -ben. Mivel térfogata térfogatának -szorosa, ebből már következik a feladatunk állítása, hiszen ha az nem volna igaz, térfogata legalább annyi lenne, minta poliéderek térfogatának az összege, vagyis térfogatának a 9-szerese. Legyen a poliéder tetszőleges pontja. Mivel a -ből származik az eltolással, a pont a poliéder valamely pontjának az eltolásából származik. Eszerint az , , vektorok egyenlőek, és az vektor egyenlő az , vektorok összegével, vagyis az vektor kététeresével, ahol a szakasz felezőpontja. Ez a felezőpont pedig -hez tartozik, mert és is -hez tartozik, és konvex. A feladat állítását ezzel bebizonyítottuk.
Breuer Péter (Eger, Gárdonyi G. Gimn.) | Megjegyzés. Az állítás 8 csúcsú konvex poliéderre már nem volna igaz, erre példa bármely paralelepipedon, hiszen egybevágó paralelepipedonokkal egyrétűen és hézagtalanul ki lehet tölteni a teret, és egy ilyen paralelepipedon szomszédai közül 7 éppen a feladatban szereplő eltolással áll elő belőle.
|
|