A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Azoknak az számoknak a halmazát kell meghatároznunk, amelyeknek megvan az a tulajdonságuk, hogy ha egy hatjegyű szám osztható -szel, akkor családjának minden tagja osztható -szel. Más szóval ez a tulajdonság azt jelenti, hogy -szel jelölve az szám hatjegyű többszöröseit, a halmaznak tetszőleges elemével együtt az illető elem egész családja is a halmazhoz tartozik. Ez a követelmény semmitmondó azokra az számokra, amelyekre üres, ami pontosan akkor következik be, ha . A feladatban mondott tulajdonsága, tehát minden legalább jegyű természetes számnak megvan. A továbbiakban a vizsgált halmaz -nál kisebb elemeit határozzuk meg, s ezek halmazát -lal jelöljük. Legyen egy tetszőleges hatjegyű szám tízes számrendszerbeli alakja . Feladatunk szerint ahol , , azaz . Az számokat tehát egymásból is előállíthatjuk: -ból úgy kapjuk -et, hogy utolsó jegyét a többi jegy elé írjuk Érvényes lesz ez a megállapítás képzésére is, ha -t -lal jelöljük. A családnak csak hat tagja van, -ból már nem kapunk új számot: azonos -lal. Legyen a , és a halmaz tetszőleges eleme, azaz legyen -szel osztható hatjegyű szám. Mivel , az számok is oszthatók -szel, és velük együtt -szel oszthatók a | | számok is. Mivel az szám tetszőleges számjegye, és a tetszőleges eleme, eredményünk azt jelenti, hogy osztója a alakú számok mindegyikének, ahol a halmaz tetszőleges elemének tetszőleges számjegye. Jelöljük -szel a -beli számok számjegyeinek legnagyobb közös osztóját, előbbi megállapításaink szerint ha , akkor osztható -szel (hiszen a számok mindegyike osztható -szel, ha befutja számjegyeit, így e számok legnagyobb közös osztója, is osztható -szel). Ha maga is hatjegyű, akkor az számjegyeinek is közös osztója; azaz számjegyei az szám számjegyeinek a -szeresei; és a szám hatjegyű osztója. Mivel -nek három hatjegyű osztója van:
Az szám ezek valamelyike lehet, és számjegyeiből úgy kapjuk meg számjegyeit, hogy mindegyiket megszorozzuk egy alkalmas számmal. Így kapjuk -ből a | | számokat; -hez viszont csak a választás lehetséges, és -ből nem kapunk új számot. A számoknak triviálisan megvan a vizsgált tulajdonságuk, az számra ezt ‐ lévén a osztója ‐ többi osztójával együtt az alábbiakban bizonyítjuk. Ha , akkor egymást követő többszöröseinek az első jegye vagy megegyezik, vagy -gyel különbözik egymástól (hiszen ez a különbség épp az ), tehát , így -nak csak olyan -nél kisebb eleme lehet, amelyik a szám osztója. Megmutatjuk, hogy minden osztója eleme -nak; Az számok képzésére vonatkozó korábbi megállapításunk szerint elegendő azt bizonyítanunk, hogy ha a tetszőleges osztója, és osztható -szel, akkor is osztható -szel. Valóban, miatt (ahol az szám utolsó jegye) osztható -szel a szám is. Emiatt is osztható -szel, ámde és relatív prímek (mint ahogy és is azok), ez tehát csak úgy lehet, ha is osztható -szel. A vizsgált halmaz elemei tehát a következők: ‐ a legalább hétjegyű természetes számok, ‐ a számok (ezek a csupa egyforma számjeggyel felírt számok), ‐ a szám osztói. |