A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az állítást annak megmutatásával bizonyítjuk, hogy a két háromszög megfelelő oldalegyenespárjait egymással egyenlő nagyságú, ellentétes irányú elfordulások viszik át egymásba. Pontosabban: az , , ponthoz megszerkesztett Simson-egyenest rendre -val, -vel, -vel jelölve, az egyenest pedig rendre -vel, -val, -vel, az -t -be átvivő elfordulás, valamint az -t -be vivő elfordulás egyenlők, de ellentétes irányúak s i. t. (1. ábra).
1. ábra Evégett megvizsgáljuk, hogyan változik -nek -n való elmozdulása hatására a hozzá tartozó Simson-egyenes iránya. Megmutatjuk előkészítésül, hogy az , és egyenesek mindegyike párhuzamos -mel (2. ábra).
2. ábra Valóban, a -ban, valamint az , , átmérők fölötti Thalész-körökben keletkezett húrnégyszögek alapján
és ezek igazolják utóbbi állításunkat. (Az , , és pontok kölcsönös helyzete szerint e bizonyítás csekély ‐ nem lényeges ‐ módosulásokat mutathat; ha pedig pl. egybeesik -val, akkor az egyenes helyett -nak -beli érintője értendő.) Forduljon el mármost az sugár -ba. Ekkor -nek új, helyzetét az -on át -vel párhuzamos egyenes metszi ki, így és egyenlő és ellentétes irányú ívei a -nak, és az -hoz tartozó Simson-egyenes iránya -éhez képest | | -gel van elfordulva, ahol a mínusz jel arra utal, hogy az elfordulás iránya ellen-tétes az -et -ba átvivő elfordulás irányával. szerepére -t, szerepére -t helyettesítve, ennek alapján azt kapjuk, hogy az -hoz képest -gel van elfordulva (1. ábra). Ez pedig egyenlő a forgásszöggel, hiszen az előbbiek szerint az háromszög úgy áll elő -ből, hogy ezt tükrözzük -nak -re merőleges átmérőjére mint tengelyre. Végül az már nyilvánvaló, hogy , és ez az -t -be vivő elfordulás negatívja. A betűzés kellő megváltoztatásával meggondolásunk az egyenlőséget adja; ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Megjegyezzük végül: előfordulhat, hogy az , , pontokhoz tartozó Simson-egyenesek nem alkotnak háromszöget, mindhárom egy ponton megy át. Ilyen helyzet adódik, ha a kiindulási , , , pontok egy húrdeltoid csúcsai és a szimmetriatengely. II. megoldás. 1. Ismeretes, hogy az háromszög magasságpontjának a , , egyenesekre vonatkozó tükörképe rajta van az köré írható körön, tehát az egyeneseknek a , , egyenesekre vonatkozó tükörképe átmegy -n (3. ábra). Ha belátjuk, hogy ezeknek a tükörképeknek az állása megegyezik, kapjuk, hogy -nek a , , egyenesekre vonatkozó tükörképei: , , egy egyenesen vannak. Mivel a tükörképeket az centrumú, arányú hasonlóság -nek az oldalaira eső vetületeibe viszi, ezzel egyrészt bebizonyítjuk a Simson-egyenes létezését, másrészt meghatározzuk ennek az egyenesnek az állását.
3. ábra 2. Válasszuk a kör középpontját origónak, és valamelyik sugarát alapul véve jellemezzük pontjait azzal a forgásszöggel, amekkora forgatás -t az illető ponthoz tartozó sugárba viszi; a sík egyeneseinek az állását pedig jellemezzük valamelyik velük párhuzamos sugarának a forgśszögével. ‐ Jelöljük az , , , pontokhoz tartozó forgásszögeket -val, -val, -val és -vel. A szög felezőjének az állása jellemezhető az forgásszöggel, a rá merőleges egyenes állása pedig az forgásszöggel. Ha -gal jelöljük az ponthoz tartozó forgásszöget, az egyenes állása , és mivel ez merőleges -re, azért az , , , forgásszögekre | | teljesül, ahol alkalmas egész szám. Az forgásszög alkalmas megválasztásával elérhető, hogy , azaz legyen. 3. Mivel az egyenes állása , ezt az egyenest a -re tükrözve, a képének az állása azzal az -val jellemezhető, amelyre és számtani közepe egyenlő -vel, azaz amelyre Ez az , , változók szimmetrikus függvénye, tehát ez jellemzi a egyenes -re vonatkozó és a egyenes -re vonatkozó tükörképének az állását is (amint azt bizonyítani akartuk), és egyben ez határozza meg az -hez tartozó Simson-egyenes állását is. 4. Ha az -ra fent kapott eredményben helyére -t írunk, megkapjuk az pont forgásszögét: Ha pedig az -ra kapott eredményben helyére ezt az -t írjuk, kapjuk az -höz tartozó Simson egyenes állását: Ennek és a egyenes állását jellemző forgásszögnek a számtani közepe a ha tehát -t egy állású egyenesre tükrözzük, az -höz tartozó Simson-egyenessel párhuzamos egyenest kapunk. Mivel az , , változók szimmetrikus függvénye, ha a és egyeneseket a állású egyenesre tükrözzük, akkor a -höz, illetve -höz tartozó Simson-egyenessel párhuzamos egyenest kapunk. Ezt kellett bizonyítanunk. |