Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.102	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó G. , Balogh Á. , Balogh Z. , Császár Gy. , Ferró J. , Hermann P. , Kiss E. , Komjáth P. , Kovács I. , Nemeskéri I. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Szeredi J. , Totik V.
Füzet:	1971/október, 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvergens sorok, Rekurzív eljárások, Legnagyobb közös osztó, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/április: Pontversenyen kívüli P.102

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyen $T_{k}$ és $T_{m}$ a sorozat tetszőleges két különböző tagja, azt kell bizonyítanunk, hogy ezek relatív prímek. (1) alapján világos, hogy ha $T_{1}$ egész szám, akkor a sorozat minden tagja egész, így van értelme az állításnak. Nyilván feltehetjük, hogy $k > m$ , ekkor (1) szerint

\begin{matrix} T_{k} - 1 = T_{k - 1} (T_{k - 1} - 1) . \end{matrix}

Helyettesítsük ebbe (

T_{k - 1} - 1

)-nek (1) szerint

T_{k - 2}

-vel kifejezett értékét, és az eljárást hasonló módon folytassuk mindaddig, amíg

T_{m}

fel nem lép. Kapjuk:

\begin{matrix} T_{k} - 1 = T_{k - 1} \cdot T_{k - 2} \cdot ... \cdot T_{m} (T_{m} - 1) . \end{matrix}

(3)

Általában

T_{k}

és

T_{m}

közös osztója egyszersmind a

T_{k} - A T_{m}

különbségnek is osztója, ahol

A

tetszőleges egész szám. (3) szerint

A = T_{k - 1} \cdot T_{k - 2} \cdot ... \cdot T_{m + 1} (T_{m} - 1)

mellett ez a különbség 1-gyel egyenlő, tehát

T_{k}

és

T_{m}

legnagyobb közös osztója 1, amint azt bizonyítani akartuk.
II. Ha

T_{n} \geq 2

, akkor (1) szerint

T_{n + 1} - 1 = T_{n} (T_{n} - 1) \geq T_{n}

, azaz

T_{n + 1} \geq T_{n} + 1

. Ebből

T_{1} = 2

miatt következik, hogy

T_{n} \geq 2

, majd ugyanebből az is, hogy

\begin{matrix} T_{n} \geq n + 1, \end{matrix}

(4)

tehát

T_{n} \neq 0

, így van értelme a (2) alatti összegnek. (1) szerint

\begin{matrix} \frac{1}{T_{k}} = \frac{T_{k}}{T_{k + 1} - 1} - \frac{1}{T_{k + 1} - 1} = \frac{1}{T_{k} - 1} - \frac{1}{T_{k + 1} - 1} . \end{matrix}

Adjuk össze a

k = 1,2, ..., n

értékekre vonatkozó fenti egyenlőségeket:

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{T_{k}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{T_{k} - 1} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{T_{k + 1} - 1} = \\ = \frac{1}{T_{1} - 1} + \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{T_{k} - 1} - \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{T_{k} - 1} - \frac{1}{T_{n + 1} - 1} = 1 - \frac{1}{T_{n + 1} - 1} . \end{matrix}

(4) szerint

T_{n}

tart végtelenbe, ha

n \to \infty

, így a (2) alatti sorozat határértéke valóban 1.

Megjegyzés. Hasonlóan látható be, hogy ha

T_{1} \neq 1

, akkora (2) alatti sorozat határértéke

\frac{1}{T_{1} - 1}

. Ha pedig

T_{1} = 1

, akkor nyilvánvalóan

T_{n} = 1

minden

n

-re és a (2) alatti sorozat (

+ \infty

)-be tart.