Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.98	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cseresnyés Mária , Füredi Zoltán , Kiss Emil , Kollár István , Móri Tamás , Reviczky János , Turán György
Füzet:	1971/szeptember, 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok approximációja, Irracionális számok és tulajdonságaik, Binomiális együtthatók, Sorozat határértéke, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/március: Pontversenyen kívüli P.98

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban szereplő sorozat tagjait akkor kapjuk, ha $\sqrt[]{2}$ -höz közel álló racionális számokat állítunk elő a következő meggondolás szerint. Kiindulunk a $q = 1 - \sqrt[]{2}$ számból, és azt mondjuk, hogy ennek $n$ -edik hatványa

\begin{matrix} q^{n} = {(1 - \sqrt[]{2})}^{n} \sim 0. \end{matrix}

A hatványt a binomiális tétel szerint kifejtve minden második tag tartalmazza a

\sqrt[]{2}

-t:

\begin{matrix} q^{n} = {(1 - \sqrt[]{2})}^{n} = \sum_{j = 0}^{n} (\binom{n}{j}) {(- \sqrt[]{2})}^{j} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{n}{2 k}) \cdot 2^{k} - \sqrt[]{2} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{n}{2 k + 1}) \cdot 2^{k} . \end{matrix}

(Csak egyszerűség kedvéért írtunk

\infty

-t az összegezés felső határának; ugyanis azok a tagok, amiket így önkényesen belevettünk az összegbe,

0

-val egyenlőek ‐ hiszen

(\binom{n}{j})

értéke definíció szerint

0

-val egyenlő, ha,

j > n

.) A

q^{n} \sim 0

közelítő egyenlőségbe

q^{n}

fenti kifejezését írva, majd

\sqrt[]{2}

értékét kifejezve, belőle a

\sqrt[]{2} \sim a_{n}

közelítő egyenlőséget kapjuk.
Pontosabban az igaz a fentiek alapján, hogy

\begin{matrix} a_{n} - \sqrt[]{2} = \frac{q^{n}}{\sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{n}{2 k + 1}) \cdot 2^{k}} . \end{matrix}

Itt a nevező értéke legalább

1

, hiszen a nevezőben olyan összeg áll, amelynek a tagjai nem-negatívak, és első tagja

n \geq 1

. A számláló viszont tart

0

-hoz, ha

n

tart a végtelenbe, hiszen

| q | < 1

. Ezek szerint

a_{n} - \sqrt[]{2}

tart

0

-hoz, ha

n

tart végtelenbe, vagyis az

a_{n}

sorozat határértéke

\sqrt[]{2}