|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.97 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Cseresnyés Mária , Ferró József , Füredi Zoltán , Hermann Péter , Katona Endre , Komornik Vilmos , Móri Tamás , Pásztor Miklós , Reviczky János , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária |
Füzet: |
1971/szeptember,
25. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatóság, Teljes indukció módszere, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1971/március: Pontversenyen kívüli P.97 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Teljes indukcióval bebizonyítjuk, hogy a feladat kérdésére igenlő válasz adható. Ha , két szomszédos négyzetes szám például a és a . Tegyük fel, hogy valamilyen természetes számhoz már találtunk szomszédos négyzetes számot, legyen ezek között a legkisebb , és legyen ezeknek a legkisebb közös többszöröse . Megmutatjuk, hogy ezek alapján megadható szomszédos négyzetes szám is. Tetszőleges természetes szám mellett az | | (1) | számok is négyzetesek. Valóban, feltevésünk szerint osztható -vel (ahol ), így is osztható -vel, és ugyancsak a feltevésünk szerint -nek van négyzetszám osztója. Megmutatjuk, hogy található olyan , melyre is négyzetes, ekkor ez az alatti számokkal együtt már szomszédos szám, és mindegyikük négyzetes. Legyen tetszőleges prímszám, mellyel nem osztható ( lehet például bármelyik törzstényezője), és jelöljük -et röviden -val, -et -vel. Azt állítjuk, hogy a | | (2) | számok között van -val osztható. Ha ugyanis ez nem volna így, akkor e számokat -val osztva mindig az , , , maradékok valamelyikét kapnánk. Összesen maradékot kapunk, amennyi a számok száma, a lehetőségek száma pedig csak , így volna olyan maradék, amelyiket kétszer is megkaptunk. Legyen mondjuk az és a számokra ugyanaz a maradék, ahol . Ekkor a különbség osztható volna -val, viszont még -vel sem osztható, és miatt sem osztható -val. Ellentmondásra jutottunk, tehát a alatti számok között valóban van -val osztható. Legyen, mondjuk, ez az szám, ekkor mellett négyzetes, hiszen osztható -tel. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk. Megjegyzések. 1. Biztosan négyzetes az szám mellett, hiszen ekkor | |
2. Hasonlóan bizonyítható, hogy tetszőleges és természetes számokhoz található szomszédos természetes szám, melyek mindegyike osztható egy (-nél nagyobb) természetes szám -ik hatványával. |
|