A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Szemléletesen szólva az számoknak csak az olyan permutációit tekintjük, amelyekben minden egyes szám vagy megmarad az alapsorrendbeli helyén, vagy pedig valamelyik szomszédjának a helyét foglalja el. Így a számok részére hely jön szóba, az és számok részére pedig csak hely. Jelöljük az (1) tulajdonságú -elemű permutációk számát -nel. (1) szerint értéke vagy , vagy . Az első esetben az számok permutációja, melyre ugyancsak teljesül (1), ezek száma tehát A második esetben -nel csak lehet egyenlő, tehát az első természetes szám (1) tulajdonságú permutációja. Ezeknek a száma , tehát Természetesen (2)-nek csak mellett van értelme, így a számok meghatározásához szükségünk van az első két értékre, ami nyilván , . Ezek a kezdő értékek (2)-vel együtt már egyértelműen meghatározzák értékét. 2. A továbbiakban explicit kifejezést keresünk -re. Általában az olyan sorozatokat, amelyekre teljesül (2), Fibonacci-féle sorozatoknak nevezzük. (2)-ből közvetlenül következik a Fibonacci-sorozatok következő három tulajdonsága: a) Ha az sorozat Fibonacci-sorozat, akkor ilyen típusú a , sorozat is, ahol tetszőleges valós szám. b) Ha az , sorozatok Fibonacci-sorozatok, akkor ilyen típusú a , sorozat is. c) Az geometriai sorozat akkor és csakis akkor Fibonacci-sorozat ha gyöke a egyenletnek, azaz ha Elegendő tehát olyan , számokat keresnünk, melyekre a sorozat első két tagja rendre megegyezik a fenti sorozat első két tagjával, akkor minden -re teljesül . Ilyen számpár a | | egyenletrendszerből: | | ennélfogva | |
Ezzel megkaptuk kifejezését kizárólag az indexszel kifejezve. (Könnyű belátni, hogy a kifejezés bármely természetes szám esetén természetes számot ad -ként.) |