Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.92	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ferró József , Göndőcs Ferenc , Katona Endre , Komjáth Péter , Reviczky János
Füzet:	1972/március, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körök, Körérintési szerkesztések, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/január: Pontversenyen kívüli P.92

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban csak a "nem koncentrikus'' kikötés okoz gondolkodni valót. Ha ugyanis az adott $k_{1}$ körhöz vele koncentrikus $k_{2}$ kört és a további követelményeket teljesítő 8 kört kellene szerkesztenünk, ez a feladat nyilvánvalóan megoldható 8 db egyenlő sugarú körrel (és máshogy nem is). E 8 körhöz $k_{1}$ -nek $O_{1}$ középpontjából meghúzva az érintőket, ezek a szimmetria alapján 2‐2 kis kört érintenek közös érintkezési pontjukban és $k_{1}$ -et 8 egybevágó körcikkre osztják, szomszédos páronként $45^{\circ}$ -os szöget zárnak be. Mindegyik kis kör egy ilyen körcikk beírt köre, és azonos annak az egyenlő szárú háromszögnek a beírt körével, amelynek csúcsa és szimmetriatengelye azonos a körcikk $O_{1}$ csúcsával, ill. tengelyével, alapja pedig érinti $k_{1}$ -et. Mármost $k_{1}$ sugarát $r_{1}$ -gyel, a beírt kör sugarát $ϱ$ -val jelölve, az $O_{1}$ körüli, $r_{1} - 2 ϱ$ sugarú kör a 8 kör mindegyikét érinti, megfelel $k_{2}$ szerepére.

1. ábra

Inverzió alkalmazásával eredeti feladatunkat visszavezethetjük e módosított feladatra. Csak úgy kell választanunk az inverz transzformáció

k_{i}

alapkörét, hogy

k_{1}

-et egy

k'_{1}

körbe vigye át és

k'_{1}

ne legyen koncentrikus

k_{1}

-gyel. (Más szóval az inverzió

C

centruma ne legyen sem

O_{1}

és ne legyen rajta ki

k_{1}

-en sem.) Ekkor

k'_{1}

-ben elvégezzük a fent leírt szerkesztést, majd a kapott

k'_{2}

kört

k_{i}

-re invertálva kapjuk a keresett

k

-t. Ahhoz, hogy

k'_{2}

és a 8 érintő kör képei körök legyenek, elegendő

C

-t a

k_{1}

-en kívül választani, így ugyanis

k'_{1}

sem tartalmazza

C

-t, tehát semelyik további körünk képe sem adódhat egyenesnek.

k_{i}

-t a

k_{1}

belsejében vesszük föl, vagy pedig úgy, hogy magába zárja

k_{1}

-et, akkor a 8 egyenlő sugarú kört

k'_{1}

-n kívül kell szerkesztenünk, a

45^{\circ}

-os szárszögű egyenlő szárú háromszögek hozzáírt köreiként,

k_{2}

-t pedig mint az ezeket magába záró kört. Ugyanis a most mondott helyzetű

k_{i}

-re való invertálás

k'_{1}

külsejét viszi át

k_{1}

belsejébe (2. ábra).

2. ábra