Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.88	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó Gábor , Ferró József , Móri Tamás
Füzet:	1971/november, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Téglatest, Maradékos osztás, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/december: Pontversenyen kívüli P.88

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $a$ -val az egyenlő nagyságú élek, $b$ -vel pedig a testátló hosszát, ekkor a feladat szerint a harmadik él hossza $(a \pm 1)$ . Pitagorasz tétele szerint $a$ és $b$ között a

\begin{matrix} 2 a^{2} + {(a \pm 1)}^{2} = b^{2}, \end{matrix}

(1)

azaz

\begin{matrix} 3 a^{2} \pm 2 a + 1 = b^{2} \end{matrix}

összefüggés áll fenn. Alakítsuk a bal oldalt teljes négyzetté:

\begin{matrix} {(3 a \pm 1)}^{2} = 3 b^{2} - 2. \end{matrix}

Eszerint elég azt biztosítani, hogy a jobb oldal értéke teljes négyzet legyen, azaz

\begin{matrix} 3 b^{2} - 2 = c^{2} \end{matrix}

(2)

teljesüljön valamilyen egész

c

mellett. Mivel ez a

c

nem lehet

3

-mal osztható, azért az

\begin{matrix} a = \frac{c - 1}{3} és az & (3.a) \\ a = \frac{c + 1}{3} & (3.b) \end{matrix}

számok egyike egész, és ez a (2) alatti

b

-vel együtt kielégíti (1)-et (természetesen (1)-ben a

\pm

előjelek közül a megfelelőt véve).
Ha valamely

b

c

számpárra teljesül (2), akkor

b

és

c

páratlan. Ha ugyanis

b

és

c

páros, vagy

b

páros és

c

páratlan, vagy

b

páratlan és

c

páros, akkor

(3 b^{2} - c^{2})

-et

4

-gyel osztva rendre

0

3

3

maradékot kapunk, tehát

(3 b^{2} - c^{2})

értéke egyik esetben sem lehet

2

. Emiatt az

\begin{matrix} x = \frac{3 b - c}{2}, y = \frac{c - b}{2} \end{matrix}

(4)

számok egészek, ha

3 b^{2} - c^{2} = 2

, ezekre a számokra pedig

\begin{matrix} x^{2} - 3 y^{2} = 1 \end{matrix}

(5)

teljesül. Megfordítva, ha

x

és

y

tetszőleges egész megoldása (5)-nek, akkor a

\begin{matrix} b = x + y, c = x + 3 y \end{matrix}

(6)

számok egészek, és kielégítik a (2) egyenletet. Elegendő tehát azt megmutatnunk, hogy az (5) egyenletnek végtelen sok egész megoldása van.
Legyen

x_{0}

y_{0}

az (5)-nek tetszőleges pozitív egész megoldása, azaz legyen

\begin{matrix} (x_{0} - y_{0} \sqrt[]{3}) (x_{0} + y_{0} \sqrt[]{3}) = 1. \end{matrix}

Ekkor nyilvánvalóan

\begin{matrix} {(x_{0} - y_{0} \sqrt[]{3})}^{2} {(x_{0} + y_{0} \sqrt[]{3})}^{2} = 1. \end{matrix}

Vagyis kifejtve az

\begin{matrix} x_{1} = x_{0}^{2} + 3 y_{0}^{2}, y_{1} = 2 x_{0} y_{0} \end{matrix}

(7)

számok is gyökei (5)-nek. A (7) alatti számok nyilván különböznek az (

x_{0}

y_{0}

) számpártól, mert ha

x_{0}

y_{0}

pozitív és egész számok, akkor

x_{1} > x_{0}^{2} \geq x_{0}

;

y_{1} > y_{0}

. Elegendő tehát az (5) egyenlet egyetlen pozitív egész gyökét megadni, ebből a (7) alatti transzformációval lépésről lépésre (

x_{0}

y_{0}

szerepét mindig az újonnan kapott gyökpárnak adva át) végtelen sok gyököt kapunk. Ilyen gyök például az

x = 2

y = 1

számpár, feladatunk állítását ezzel bebizonyítottuk.
Egy-egy megfelelő téglatest élei

2

2

1

, ill.

6

6

7