A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen olyan pontrendszer, amelyben nincs három, egy egyenesen levő, és nincs öt, egy konvex ötszöget meghatározó pont. Azzal igazoljuk a feladat állítását, hogy megmutatjuk: -nak legföljebb 8 pontja van. Legyen konvex burka , és a -ból -hoz nem tartozó pontok konvex burka . Feltevésünk szerint -nak -hoz is, -hoz is legfeljebb négy pontja tartozik, vagyis is, is vagy háromszög vagy négyszög. Igaz tehát az állításunk, ha -nak minden pontja vagy -hoz, vagy -hoz tartozik. Tegyük fel, hogy van -nak legalább egy, sem -hoz, sem -hoz nem tartozó pontja, jelöljük ezt (ill. az ilyenek egyikét) -vel. nyilván belsejében van. Abban az esetben, ha négyszög, bontsuk az egyik átlójával két háromszögre : ezek egyike belsejében tartalmazza -t. Jelöljük ennek a háromszögnek a csúcsait -val, -vel, -vel. Ha pedig háromszög, akkor , , legyen a három csúcsa. (Az , , pontok mindkét esetben természetesen pontjai.) A , , félegyenesek három részre bontják a síkot, csúcsai e részek belsejébe esnek. Megmutatjuk, hogy e részekben csak egy‐egy csúcsa lehet -nak, azaz háromszög. Ha ugyanis valamely oldalszakasza például az szögtartományban volna, akkor ‐ mint minden pontja ‐ az , , pontok is a egyenes egyik oldalán volnának, és az , , , , pontok egy konvex ötszöget határoznának meg (1. ábra). 1. ábra Így és pontjainak száma együttvéve legföljebb 7, elegendő tehát azt megmutatnunk, hogy -nak csak egy pontja lehet belsejében. Tegyük fel ezzel ellentétben, hogy -nak mondjuk a és pontja van belsejében. Ha négyszög, akkor a egyenes csak szemközti oldalait metszheti, hiszen ha -nak három csúcsa volna a egyenes egyik oldalán, ezek a , pontokkal együtt egy konvex ötszöget határoznának meg. Jelöljük csúcsait , , , -vel és válasszuk úgy a betűzést, hogy a félegyenes , a félegyenes az szakaszt messe (2. ábra). 2. ábra A fentiekhez hasonlóan látható be, hogy az , szögtartományban -nak csak egy‐egy csúcsa lehet. A , félegyenesek és a szakasz által határolt síkrészben viszont egyetlen csúcsa sem lehet -nak, különben az a , , , pontokkal együtt konvex ötszöget határozna meg. Ugyanígy a , félegyenesek és a szakasz által határolt síkrészben sem lehet csúcsa -nak, így ellentmondásra jutottunk, hiszen ezek szerint -nak csak két csúcsa lehetne. Ha háromszög, jelöljük a csúcsait , , -vel, és válasszuk úgy a betűzést, hogy a félegyenes a , a félegyenes az szakaszt messe (3. ábra). 3. ábra Ekkor a , félegyenesek és a szakasz által határolt síkrészben nem lehet csúcsa -nak, az , szögtartományokban pedig csak egy‐egy csúcsa lehetne. Ismét ellentmondásra jutottunk, állításunkat ezzel bebizonyítottuk.
|