Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.81	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1972/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Játékelmélet, játékok, Klasszikus valószínűség, Feltételes valószínűség, események, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/november: Pontversenyen kívüli P.81

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két fiúnak a meginduláskor együtt 20 fehér és 20 fekete golyója van, és a játék során állandóan 20‐20 golyójuk marad. Jelöljük ezt a számot ‐ kissé általánosabban ‐ $n$ -nel, és $A_{k j}$ -vel azt az eseményt, hogy a $k$ -adik lépés előtt Péternek $j$ fehér golyója van ( $0 \leq j \leq n$ , $k = 1,2, ...$ ). Ha az $A_{k j}$ esemény bekövetkezik, akkor a $k$ -adik lépés előtt a következő a helyzet:

Péter fehér golyóinak száma:

j

, fekete golyóié:

n - j

,
Pál fehér golyóinak száma:

n - j

, fekete golyóié:

j

.
Jelöljük továbbá

B_{k}

-val azt az eseményt, hogy a

k

-adik lépésben Péter fehér golyót ad Pálnak (komplementerét a szokásos módon

{\bar{B}}_{k}

-sal jelöljük) és

C_{k}

-val azt, hogy ugyanekkor Pál Péternek feketét ad. Feladatunk a

B_{k} C_{k}

esemény valószínűségét kérdezi.
Ha az

A_{k j}

esemény bekövetkezik, a fiúk a

k

-adik lépésben egymástól függetlenül és a rendelkezésre álló golyók közül véletlenszerűen választják ki a másiknak átadott golyót, ami egyértelműen meghatározza

B_{k} C_{k}

B_{k} {\bar{C}}_{k}

{\bar{B}}_{k} C_{k}

{\bar{B}}_{k} {\bar{C}}_{k}

eseményeknek az

A_{k j}

eseményre vett feltételes valószínűségét:

\begin{matrix} P (B_{k} C_{k} | A_{k j}) = {(\frac{j}{n})}^{2}, & P (B_{k} {\bar{C}}_{k} | A_{k j}) = \frac{j}{n} \cdot \frac{n - j}{n}, \\ P ({\bar{B}}_{k} C_{k} | A_{k j}) = \frac{n - j}{n} \cdot \frac{j}{n}, & P ({\bar{B}}_{k} {\bar{C}}_{k} | A_{k j}) = {(\frac{n - j}{n})}^{2} . \end{matrix}

Ha az

A_{k j}

esemény után a

B_{k}

és a

C_{k}

események következnek be, akkor Péter fehér golyóinak a száma 1-gyel csökken, ezek az események tehát maguk után vonják az

A_{k + 1, j - 1}

eseményt. Hasonlóan kapjuk, hogy

A_{k j} B_{k} {\bar{C}}_{k}

és

A_{k j} {\bar{B}}_{k} C_{k}

A_{k + 1, j}

-t,

A_{k j} {\bar{B}}_{k} {\bar{C}}_{k}

pedig az

A_{k + 1, j + 1}

eseményt vonja maga után. Így a teljes valószínűség tétele alapján:

\begin{matrix} P (B_{k + 1} C_{k + 1} | A_{k j}) = \sum_{ν = 0}^{\infty} P (A_{k + 1, ν} | A_{k j}) \cdot P (B_{k + 1} C_{k + 1} | A_{k + 1, ν}, A_{k j}) = \\ = P (B_{k} C_{k} | A_{k j}) \cdot P (B_{k + 1} C_{k + 1} | A_{k + 1, j - 1}) + P (B_{k} {\bar{C}}_{k} | A_{k j}) \cdot P (B_{k + 1} C_{k + 1} | A_{k + 1, j}) + \\ + P ({\bar{B}}_{k} C_{k} | A_{k j}) \cdot P (B_{k + 1} C_{k + 1} | A_{k + 1, j}) + P ({\bar{B}}_{k} {\bar{C}}_{k} | A_{k j}) \cdot P (B_{k + 1} C_{k + 1} | A_{k + 1, j + 1}) = \\ = {(\frac{j}{n})}^{2} {(\frac{j - 1}{n})}^{2} + 2 \frac{j (n - j)}{n^{2}} {(\frac{j}{n})}^{2} + {(\frac{n - j}{n})}^{2} {(\frac{j + 1}{n})}^{2} = \\ = {(\frac{j}{n})}^{2} (1 - \frac{4}{n} + \frac{2}{n^{2}}) + \frac{2 j}{n^{2}} (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{n^{2}} . \end{matrix}

Itt a végeredményben

{(\frac{j}{n})}^{2}

P (B_{k} C_{k} | A_{k j})

\frac{j}{n}

pedig a

P (B_{k} | A_{k j})

feltételes valószínűséggel egyenlő; ha tehát a kapott egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk az

A_{k j}

esemény valószínűségével, és összegezünk a

j = 0,1, ..., n

értékekre, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} P (B_{k + 1} C_{k + 1}) = (1 - \frac{4}{n} + \frac{2}{n^{2}}) \cdot P (B_{k} C_{k}) + \frac{2}{n} (1 - \frac{1}{n}) \cdot P (B_{k}) + \frac{1}{n^{2}} . \end{matrix}

Hasonló módon kapunk rekurziót a

P (B_{k})

valószínűségekre:

\begin{matrix} P (B_{k + 1}) = (1 - \frac{2}{n}) \cdot P (B_{k}) + \frac{1}{n}, \end{matrix}

amiből

P (B_{k})

értéke könnyen előállítható:

\begin{matrix} P (B_{k}) = \frac{1}{2} + {(1 - \frac{2}{n})}^{k - 1} (P (B_{1}) - \frac{1}{2}) . \end{matrix}

Helyettesítsük ezt a

P (B_{k} C_{k})

valószínűségek fenti rekurziójába, némi számolással kapjuk, hogy

\begin{matrix} P (B_{k} C_{k}) = {(1 - \frac{4}{n} + \frac{2}{n^{2}})}^{k - 1} [(P (B_{1} C_{1}) - \frac{n}{4 n - 2}) - (P (B_{1}) - \frac{1}{2})] + \\ + {(1 - \frac{2}{n})}^{k - 1} (P (B_{1}) - \frac{1}{2}) + \frac{n}{4 n - 2} . \end{matrix}

Feladatunk szerint

n = 20

P (B_{1}) = 0, 6

P (B_{1} C_{1}) = 0, 36

, ezeket behelyettesítve kapjuk a keresett valószínűségeket.