A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A két fiúnak a meginduláskor együtt 20 fehér és 20 fekete golyója van, és a játék során állandóan 20‐20 golyójuk marad. Jelöljük ezt a számot ‐ kissé általánosabban ‐ -nel, és -vel azt az eseményt, hogy a -adik lépés előtt Péternek fehér golyója van (, ). Ha az esemény bekövetkezik, akkor a -adik lépés előtt a következő a helyzet: Péter fehér golyóinak száma: , fekete golyóié: , Pál fehér golyóinak száma: , fekete golyóié: . Jelöljük továbbá -val azt az eseményt, hogy a -adik lépésben Péter fehér golyót ad Pálnak (komplementerét a szokásos módon -sal jelöljük) és -val azt, hogy ugyanekkor Pál Péternek feketét ad. Feladatunk a esemény valószínűségét kérdezi. Ha az esemény bekövetkezik, a fiúk a -adik lépésben egymástól függetlenül és a rendelkezésre álló golyók közül véletlenszerűen választják ki a másiknak átadott golyót, ami egyértelműen meghatározza , , , eseményeknek az eseményre vett feltételes valószínűségét:
Ha az esemény után a és a események következnek be, akkor Péter fehér golyóinak a száma 1-gyel csökken, ezek az események tehát maguk után vonják az eseményt. Hasonlóan kapjuk, hogy és az -t, pedig az eseményt vonja maga után. Így a teljes valószínűség tétele alapján:
Itt a végeredményben a , pedig a feltételes valószínűséggel egyenlő; ha tehát a kapott egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk az esemény valószínűségével, és összegezünk a értékekre, azt kapjuk, hogy | |
Hasonló módon kapunk rekurziót a valószínűségekre: amiből értéke könnyen előállítható: | | Helyettesítsük ezt a valószínűségek fenti rekurziójába, némi számolással kapjuk, hogy
Feladatunk szerint , , , ezeket behelyettesítve kapjuk a keresett valószínűségeket. |