Feladat: Pontversenyen kívüli P.80 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balog János ,  Göndőcs F. ,  Katona Endre ,  Reviczky János 
Füzet: 1972/február, 70 - 72. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Inverzió, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/október: Pontversenyen kívüli P.80

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a sík azon P pontjainak a mértani helye, melyeknek két különböző ponttól, A-tól és B-től mért távolságainak az aránya egy adott pozitív λ szám: PA:PB=λ, az AB szakasz f felezőmerőlegese, ha λ=1; ha pedig λ1, akkor egy kλ kör, melyre A-t invertálva B-t kapjuk.* A továbbiakban f-et egyszerűség kedvéért k'-vel is jelöljük, hogy ne kelljen a két esetet megkülönböztetni. Könnyen belátható az is, hogy kλ két olyan részre vágja a síkot, amelyek közül az A-t tartalmazó részben

PA:PB<λ,
a B-t tartalmazó részben pedig
PA:PB>λ.
(Ez λ=1 mellett közismert, λ1 mellett pedig az idézett bizonyításból kiolvasható, hiszen ott épp a λ=1 esetre vezettük vissza a λ1 esetet is.)
Ezek szerint, ha találunk az e egyenesen olyan P1 pontot, hogy az e egyenes P1-től különböző pontjai a P1A:P1B=λ arányhoz tartozó kλ-nak B-t tartalmazó oldalán vannak, akkor e tetszőleges, P1 től különböző P pontjában
PA:PB>P1A:P1B,(1)
tehát a vizsgált aránynak P1-ben minimuma van; és megfordítva, ha (1) teljesül, akkor az e egyenes P1 től különböző pontjai kλ-nak B-t tartalmazó oldalán vannak.
 

 

Hasonlóan látható be, hogy a PA:PB aránynak akkor és csakis akkor van a P2 pontban maximuma, ha e-nek P2 től különböző pontjai a P2A:P2B=λ arányhoz tartozó kλ-nak A-t tartalmazó oldalán vannak.
 

Az, hogy e pontjai egyikük kivételével kλ egyik oldalán legyenek, csak akkor lehet, ha kλ kör, és e érinti kλ-t. Tegyük fel először, hogy e és k' metszik egymást, és jelöljük a metszéspontot M-mel, az M középpontú, A-n és B-n átmenő kört k-val. Tetszőleges λ1 mellett a kλ alapkörű inverzió A-t B-be viszi, tehát k-t önmagába viszi át (hiszen k és kλ metszi egymást, és e metszéspontok a helyükön maradnak). Emiatt k merőleges kλ-ra, és az M-ből kλ-hoz húzott érintők érintési pontjai rajta vannak k-n. A keresett P1 és P2 pont tehát csak e és k metszéspontja lehet. Belátjuk, hogy P1 a k'-nek A-t tartalmazó oldalán levő metszéspont, P2 pedig a másik metszéspont. Jelöljük ezeket a pontokat átmenetileg rendre Q1-gyel és Q2-vel; megmutatjuk, hogy azonosak a keresett pontokkal.
 

Messe az e-re merőleges, Qi-n átmenő egyenes az AB egyenest Ci-ben, és legyen a Ci középpontú, Pi-n átmenő kör ki (i=1,2). A szerkesztés alapján ki merőlegesen metszi k-t, így k-nak a Ci-n átmenő AB egyenesen levő A és B pontjait a ki-re való invertálás egymásba viszi át. Emiatt ki az APi:BPi arányhoz tartozó Apollóniosz‐kör (i=1,2). Az A pont a k1 belső pontja, k2-nek pedig külső pontja, tehát Qi azonos Pi-vel (i=1,2).
 

Ha tehát e és k' metszi egymást, akkor a minimális és maximális AP:BP arányt adó pontokat a metszéspontjuk körül rajzolt, A-n átmenő kör metszi ki e-ből, a k'-nek A-t tartalmazó oldalán kapjuk a minimumot, a másik oldalon a maximumot.
 

Ha e és k' azonosak, akkor e-n az AP:BP arány állandó, tehát nincs sem maximuma, sem minimuma. Ha e párhuzamos k'-vel, akkor az A, B pontokhoz tartozó bármelyik kλ kört csak az AB egyenesen levő pontban érintheti, hiszen kλ is, e is szimmetrikus az AB egyenesre. Jelöljük e és az AB egyenes metszéspontját P1-gyel, vagy P2-vel aszerint, hogy az a k'-nek A-t tartalmazó vagy A-t nem tartalmazó oldalán van. Az első esetben P1-ben minimuma van az AP:BP aránynak, hiszen a P1 en átmenő, az A, B pontokhoz tartozó Apollóniosz-kör belsejében tartalmazza az A pontot, hasonlóan látható, hogy a második esetben P2-ben maximum van. Mivel szélső érték csak e és valamely kλ érintési pontjában lehet, ezekben az esetekben maximum, illetve minimum nincs.
 

Katona Endre (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A megoldásban maximumnak (illetve minimumnak) azt a függvényértéket tekintettük, amelyiknél a vizsgált függvény minden más értéke határozottan kisebb (illetve nagyobb). A kapott eredmény akkor is helyes (csak kicsit hosszabban bizonyítható), ha e definícióban "kisebb'' (illetve "nagyobb'') helyett a "kisebb vagy egyenlő'' (illetve "nagyobb vagy egyenlő'') kifejezést használjuk; kivéve azt az esetet, amikor e és k' azonosak, ekkor ugyanis az utóbbi definíció szerint e minden pontjában maximum is és minimum is van.
 

2. A szerkesztés ‐ mint látjuk ‐ egyszerű, az indokolás viszont hosszabb. Erre az ellentétre utaltunk már az 1334. gyakorlatban (K. M. L. 42 (1971) 211.).
*Lásd pl. Bártfai‐Tusnády: Pályázat az inverzióról. K. M. L. 42 (1971) 1‐7.