|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.77 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ferró József , Füredi Zoltán , Göndőcs Ferenc , Komjáth Péter , Reviczky János |
Füzet: |
1971/december,
216 - 219. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Konvergens sorok, Algoritmikus eljárások, Határozott integrál, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1970/október: Pontversenyen kívüli P.77 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A állítás nyilvánvaló, hiszen (1) alapján (2)-nek egyetlen tagja sem negatív. Másrészt (2) tagjai így alakíthatók:
ezért a összegezés közbülső tagjainak 2‐2 hányadosa az előtte, ill. utána álló tag egyik hányadosával együtt 0-t ad, és csak az első és utolsó tag egyik-egyik hányadosa marad meg: A jobb oldal kisebb, mint 2, tehát , az I. állítást bebizonyítottuk. II. A feltételt teljesítő, adott számhoz egy alkalmas hányadosú , , , , mértani sorozatot fogunk megadni. Ekkor egy (másik) mértani sorozat összege:
tehát a értékeket kizárólag és határozzák meg. Mármost -hez megválasztható úgy, hogy az első tényezőre teljesüljön Ez esetén minden számra teljesül, ezért tovább csak a értékeket tekintjük. Így pedig elegendő, hogy legyen, hiszen akkor és , tehát Ennek alapján megmutatjuk, hogy ilyen megválasztásával a vagyis az egyenlőtlenség teljesül minden olyan -re, amely nagyobb egy bizonyos -nél. Ez, mivel ilyen index végtelen sok van, a II. állítás bizonyítását fogja jelenteni. Valóban, a feltevés folytán az sorozat monoton csökkenve 0-hoz tart, ha minden határon túl nő, ezért van olyan szám, hogy azaz hogy a , intervallumba esik minden szám esetében. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Göndőcs Ferenc, Füredi Zoltán, Komjáth Péter | II. megoldás. I. A következő alakítás szerint: | | tehát a következő integrál egy közelítő összege áll előttünk: | | hiszen az pontok (1) alapján az , intervallum egy felosztását adják ‐ megengedve 0 hosszúságú részintervallumokat is. Az függvény esetén folytonos és pozitív, tehát az integrál létezik és pozitív. A függvény monoton fogyó, és minden egyes részintervallum hosszát a jobb végpontjában fölvett függvényértékkel szoroztuk, ezért alsó közelítő összege az integrálnak. És mivel az integrál értéke | | azért , amint a feladat állítja. II. A fenti integrálnak ugyanazon felosztáshoz tartozó felső közelítő összege nagyobb az integrál értékénél: | | de ha az hányadosok sorozata alulról korlátos, azaz ha van olyan szám, hogy | | (3) | akkor nem lényegesen nagyobb nél: | | Ha tehát (3) teljesül, akkor Válasszuk meg -t úgy, hogy legyen, majd válasszuk meg -t úgy, hogy teljesüljön, ahol mivel , azért . Így (4) szerint akkor mindenesetre teljesül, ha | | (5) | Azt kell tehát megmutatnunk, hogy tetszőleges számhoz van olyan sorozat, melyre a feladat feltételein kívül (3) teljesül, és végtelen sok indexre (5) is teljesül. Az utóbbi biztosan teljesül, ha az -nel együtt minden határon túl nő. Ha viszont a (3)-nál többet mondó is teljesül az sorozatra, akkor | | ahol miatt és ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.
Reviczky János, Ferró József |
|
|