Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.76	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balog J. , Benkő L. , Császár Gy. , Fejes G. , Ferró J. , Füredi Z. , Földvári Cs. , Göndőcs F. , Hermann P. , Horváth M. , Kajári G. , Kelen M. , Kirchner I. , Komjáth Péter , Komornik V. , Martoni Viktor , Móri T. , Nagy Zoltán , Pallagi D. , Pásztor M. , Petz D. , Pressing L. , Reviczky J. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Tarsó B. , Totik V. , Varga Gy. (Eger)
Füzet:	1971/május, 212 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Párhuzamos szelők tétele, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: Pontversenyen kívüli P.76

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja a kerület-felező egyenesek létezését. Jelöljük a háromszög oldalait a szokásos módon $a$ , $b$ , $c$ , a kerület felét pedig $s$ betűvel. Legyen továbbá a $B$ , $C$ csúcshoz tartozó kerület-felező egyenesnek a szemben levő oldallal való metszéspontja rendre $E$ , $F$ . Legyen $A D$ és $B E$ metszéspontja $X$ , míg $A D$ és $C F$ metszéspontja $X_{1}$ . Azt kell belátnunk, hogy $X \equiv X_{1}$ .

Elég ehhez megmutatni, hogy

A D : X D = A D : X_{1} D

. Határozzuk meg ezeket az arányokat. E célból húzzunk párhuzamost

A D

-vel

E

-n át, ez az egyenes a

C D

szakaszt egy belső pontban metszi, jelöljük ezt

G

-vel. A párhuzamos szelők tételei alapján, figyelembe véve, hogy

\begin{matrix} B D = A E = s - c, A F = C D = s - b, B F = C E = s - a, \end{matrix}

felírhatjuk:

\begin{matrix} E G : A D = (s - a) : b, & (1) \\ X D : E G = (s - c) : {(s - c,) + D G}, & (2) \\ D G : (s - c) = (s - b) : b . & (3) \end{matrix}

D G

értékét kifejezve (3)-ból, s behelyettesítve (2)-be, nyerjük:

\begin{matrix} X D : E G = b : s, \end{matrix}

(4)

(1) és (4) megfelelő tagjait összeszorozva, egyszerűsítés után:

\begin{matrix} X D : A D = (s - a) : s . \end{matrix}

Vegyük észre, hogy ez az arány csak

a

-tól és

s

-től függ, ugyanezt az arányt kapjuk tehát, ha

B

és

C

szerepét fölcseréljük, amivel

E

és

F

, valamint

X

és

X_{1}

szerepe is fölcserélődik. Ezért

X_{1} = X

, amit bizonyítani akartunk.

Komjáth Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Bebizonyítható, hogy a három kerület-felező egyenes

L

metszéspontja, a háromszög

S

súlypontja, és a beírt kör

O

középpontja egy egyenesen van, mégpedig úgy, hogy

S

O L

szakasz

O

-hoz közelebb eső harmadoló pontja. 2. Vegyük észre, hogy

D

E

F

a háromszöghöz hozzáírt (kívülről érintő) körök érintési pontjai. Hasonló állítás bizonyítható arra az esetre is, mikor

D

E

F

a beírt kör érintési pontjai az oldalakon.

Martoni Viktor (Veszprém, Lovassy L. Gimn., IV. o. t.)

3. A dolgozatok többsége a Ceva-tétel felhasználásával bizonyította az állítást. Ennek egyik rész-állítása azt mondja ki, hogy ha

D

E

F

rendre a

B C

C A

A B

egyenes pontja, és

\begin{matrix} \frac{B D}{D C} \cdot \frac{C E}{E A} \cdot \frac{A F}{F B} = 1, \end{matrix}

akkor az

A D

B E

C F

egyenesek egy ponton mennek át. Ez ugyanúgy bizonyítható, mint ahogyan feladatunk állítását bizonyítottuk.