Feladat: Pontversenyen kívüli P.75 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ábrahám L. ,  Balog J. ,  Balogh Z. ,  Bartolits I. ,  Dombi Péter ,  Füredi Z. ,  Földvári Cs. ,  Geréb M. ,  Göndőcs F. ,  Hegyi F. ,  Hermann P. ,  Horváth M. (Veszprém) ,  Kelen M. ,  Komjáth P. ,  Komornik V. ,  Kópházi J. ,  Kovács Z. ,  Less Gy. ,  Martoni V. ,  Melegh E. ,  Móri Tamás ,  Nagy Sándor (Bp. I. István) ,  Nagy Zoltán (Bp. Berzsenyi) ,  Pásztor M. ,  Petz Dénes ,  Pressing L. ,  Reviczky J. ,  Schmidt F. ,  Stachó B. ,  Szendrei Ágnes ,  Szendrei Mária ,  Tarsó B. ,  Tóth András (Bp., Könyves Kálmán Gimn.) ,  Totik V. 
Füzet: 1971/április, 171 - 172. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikus geometria síkban, Egyéb sokszögek geometriája, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/szeptember: Pontversenyen kívüli P.75

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat állítását a következő általánosabb alakban bizonyítjuk be. Legyen adott a síkon n (≥3) pont, amelyek közül egyik három sincs egy egyenesen, ekkor ki lehet választani közülük hármat úgy, hogy az ezek által meghatározott háromszögnek van 180∘n-nél nem nagyobb szöge.

 

Tekintsük pontjaink konvex burkát: ez valamilyen konvex k-szög, ahol 3≤k≤n. A k-szög belső szögeinek összege (k-2)⋅180∘, így a burkoló sokszögnek van olyan A csúcsa, amelynél levő α szögre fennáll az
α≤(k-2)⋅180∘k=(1-2k)⋅180∘≤(1-2n)⋅180∘=(n-2)180∘n(1)
egyenlőtlenség. Kössük össze A-t a többi ponttal, így n-1 különböző egyenest kapunk, és ezek α-t (n-2) részre bontják. E részek közül a legkisebb nem lehet nagyobb αn-2-nél, ezért (1) miatt
αn-2≤180∘n,
tehát a keresett háromszög egyik csúcsa A, másik két csúcsa pedig az α legkisebb részének a szárain levő egy-egy pont.
Vegyük észre, hogy itt egyenlőség csak akkor állhat fenn; ha k=n, vagyis mind az n pont hozzátartozik a konvex burokhoz és α=(n-2n)⋅180∘, vagyis az n-szög mindegyik szöge és annak mindegyik része egyenlő. Ez pedig csak akkor következhet be, ha az n pont egy szabályos n-szög n csúcspontja.
Speciálisan, n=6 esetén 180∘6=30∘, így a feladat állítását bebizonyítottuk, sőt azt is megmutattuk, hogy található olyan 3 pont is, melyek által meghatározott háromszögnek van 30∘-nál kisebb szöge, kivéve azt az esetet, amikor a 6 pont egy szabályos hatszög 6 csúcspontja.
 

Móri Tamás (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

Petz Dénes (Budapest, Veres Pálné Gimn. IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A feladat állításánál kissé erősebb állítás a következő: ha a sík 6 adott pontja közül semelyik 3 sincs egy egyenesen, akkor kiválasztható közülük 3 úgy, hogy az általuk meghatározott háromszögnek van legalább 120∘-os szöge. Ebből valóban következik a feladat állítása, hiszen ekkor a másik két szög összege legfeljebb 60∘, tehát egyikük legfeljebb 30∘. (A megfordítás nyilvánvalóan nem igaz.) Ezen erősebb állítás bizonyítását a következőkben vázoljuk: A konvex burok
‐ vagy hatszög ‐ ekkor van olyan szöge, amely nem kisebb, mint 4⋅180∘6=120∘ (s ez természetesen<180∘) ‐,
‐ vagy legföljebb ötszög ‐ ekkor van olyan 3 pont a 6 között, amelyek által meghatározott háromszög belsejében is van pont. Ilyen pontból a háromszögnek legalább egy oldala legalább 120∘ alatt látszik.
 

Dombi Péter (Pécs, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)
 

2. Bebizonyítható, hogy 6 pont esetén legalább két háromszögnek van legföljebb 30∘-os szöge.