Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.71	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó Gábor , Balog J. , Göndőcs Ferenc , Horváth Miklós , Komjáth P. , Reviczky János , Szendrei Ágnes
Füzet:	1971/február, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek, Játékelmélet, játékok, Kombinációk, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/május: Pontversenyen kívüli P.71

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a társaság tagjainak, letöltött üdülési napjainak, valamint az üdülő sakkjáték-készleteinek számát rendre $t$ , $n$ , $s$ . Természetesen feltesszük, hogy a társaság minden tagja tud pingpongozni is, sakkozni is. A ping-pong mérkőzés befejezése alapján

\begin{matrix} n = (\binom{t}{2}) . \end{matrix}

Gondoljuk a sakktáblákat egyelőre megszámozva és írjuk fel a játékosok lehetséges párosításainak számát a táblákhoz. Az első táblához

(\binom{t}{2})

különböző pár írható ki, bármelyikük mellé a második táblához

(\binom{t - 2}{2})

pár, és így tovább, az

s

-edik táblához

(\binom{t - 2 (s - 1)}{2})

pár, tehát az összes játékosok annyiféleképpen állíthatók párokba a sorszámozott táblákhoz, mint a mondott számok szorzata.
A sakktáblák megkülönböztető számozásától eltekintve a párosítások

s!

-osával azonosakká válnak, ennyiszer kisebb a párba rendezési lehetőségek száma; és, mint tudjuk, ezek mind meg is valósultak az utolsó napig, mindegyik egyszer, ennélfogva

\begin{matrix} n = \frac{1}{s!} \cdot (\binom{t}{2}) \cdot (\binom{t - 2}{2}) \cdot (\binom{t - 4}{2}) \cdot ... \cdot (\binom{t - 2 s + 2}{2}) = \frac{t!}{s! 2^{s} \cdot (t - 2 s)!} \end{matrix}

(Feltehető, hogy

t - 2 s ≧ 0

t ≧ 2 s

, különben mind az

s

táblán csak úgy folyhatott volna le

1 - 1

mérkőzés naponta, ha némelyik játékos több játszmát is játszott volna egy napon; ezt pedig a feladat szövegének tartalmaznia, rendeznie kellene, nélküle az adat felhasználhatatlan lenne.)

n

kétféle kifejezésének egyenlőségét úgy alakítjuk tovább, hogy az egyik oldalon egy binomiális együtthatót kapjunk, a másik oldalon pedig

2

-nek egy hatványát:

\begin{matrix} \frac{(t - 2)!}{s! 2^{s - 1} (t - 2 s)!} = 1, \\ \frac{(t - 2)!}{(t - 2 s)! s!} = \frac{(t - 2)!}{(t - 2 s)! (2 s - 2)!} \cdot \frac{(2 s - 2)!}{s!} = 2^{s - 1}, \\ (\binom{t - 2}{t - 2 s}) \cdot = (2 s - 2) \cdot (2 s - 3) \cdot ... \cdot (s + 2) \cdot (s + 1) = 2^{s - 1} . \end{matrix}

Itt az első tényező is, mint binomiális együttható, egész szám, a továbbiak egymás utáni egész számok, a jobb oldal pedig egyedül a

2

-es prímtényezőt tartalmazza. Mivel két szomszédos egész egyike páratlan, ez máshogy nem lehetséges, mint ha a bal oldalon a további tényezők száma

1

, vagy nincs is ilyen tényező, végül ha jobbról nincs is

2

-es tényező, ti. ha

s - 1 = 0

s = 1

.
Az első lehetőség mellett

2 s - 2 = s + 1

, azaz

s = 3

, a második mellett

2 s - 2 = s

, azaz

s = 2

. Ezekkel

t

-re a következő egyenletek adódnak:

\begin{matrix} (\binom{t - 2}{t - 6}) \cdot 4 = 4, \end{matrix}

amiből

t - 6 = 0

t = 6

; illetőleg

\begin{matrix} (\binom{t - 2}{t - 4}) = (\binom{t - 2}{2}) = 2, (t - 2) (t - 3) = 4, \end{matrix}

ilyen egész

t

nincs.
Az

s = 3

t = 6

értékpárhoz

n = 15

, ez megoldása a feladatnak,

6

tagú társaság

15

napig üdült és napi

3

sakkmérkőzést bonyolítottak le (a

3

táblánál).
Végül az utolsónak említett

s = 1

esetén a két játékfajta szerepe egyező, a sakkadat nem mond újat a pingponghoz képest, a feladat határozatlan; különben a feladat készletekről beszél, tehát

s > 1

Megjegyzés. A párokba állítások különbözősége nem zárja ki azt, hogy

2

résztvevő ne játsszék többször egymással, sőt

t > 4

miatt meg is kívánja. Pl.

(A B)

(C D)

(E F)

és

(A B)

(C E)

(D F)

két különböző párokba állítás.