Feladat: Pontversenyen kívüli P.67 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Göndőcs Ferenc ,  Komjáth Péter ,  Papp Zoltán 
Füzet: 1971/január, 25 - 28. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Determinánsok további alkalmazásai, Polinomok szorzattá alakítása, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/április: Pontversenyen kívüli P.67

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A harmonikus csoport definíciójában x1 és x2, továbbá x3 és x4 szerepe szimmetrikus, akár az egyik, akár a másik párt, akár mindkettőt fölcserélve a bal oldal változatlan marad. Más indexcserék esetén viszont a kifejezés értéke megváltozik.
I. Bontsuk föl az egyenlet bal oldalát két másodfokú polinom szorzatára, melyeknek zérushelyei x1 és x2, illetve x3 és x4:

x4+4bx3+6cx2+4dx+e=(x2-px+q)(x2-p'x+q'),(2)
ahol tehát
 


(3){x1+x2=p,x3+x4=p',x1x2=q,x3x4=q'.
 


Föltettük, hogy a=1, ami csak azt jelenti, hogy b/a, c/a, d/a, e/a helyett rendre (új) b, c, d, e betűt írtunk; ezáltal sem a gyökök nem változtak meg, sem a determináns 0 vagy nem 0 volta, mert az új determináns értéke az eredetiének 1/a3 része (mind a három sorból kiemelünk 1/a-t).
Az együtthatók összehasonlításából
p+p'=-4b,(4)q+q'+pp'=6c,(5)pq'+p'q=-4d,(6)qq'=e.(7)
Ennek a rendszernek 3 megoldása van, hiszen pl. az α, β, γ, δ számok 3-féleképpen rendezhetők két párba, α párjának egymás után β-t, γ-t, végül δ-t véve. Azáltal azonban, hogy x1, x2, x3, x4-et harmonikus csoportnak tesszük fel ‐ ami már nem engedi meg a négy gyök tetszés szerinti indexelését ‐, a megoldást egyértelművé tesszük. A definíció szerinti kapcsolatból átrendezéssel, majd (3) felhasználásával
2(x1x2+x3x4)-(x1+x2)(x3+x4)=0,2(q+q')-pp'=0.(8)
Ennek alapján (5) helyére két egyenletet írhatunk, vagy csak p vagy csak q betűkkel:
pp'=4c,(5')q+q'=2c.(5'')

Mármost p és p' a (4) és (5') alapján, q és q' pedig (5'') és (7) alapján rendre a következő két egyenlet gyökei:
p2+4bp+4c=0,q2-2cq+e=0,
vagyis
p=-2(b+εb2-c),p'=-2(b-εb2-c),q=c+δc2-e,q'=c-δc2-e,
ahol ε és δ értéke egymástól függetlenül +1 vagy -1.
 

Ezeket a még hátra levő (6)-ba helyettesítve, majd kifejtve, rendezve
(b+εb2-c)(c-δc2-e)+(b-εb2-c)(c+δc2-e)=2d,-εδb2-c⋅c2-e=d-bc,(9)


végül négyzetre emeléssel, rendezéssel
(b2-c)(c2-e)=(d-bc)2,(9')ce+2bcd-c3-d2-b2e=0,(10)
ez szükséges föltétele annak, hogy teljesüljön (2), (3) és (8), más szóval, hogy x1, x2, x3, x4 az (1) gyökei legyenek és ebben a sorrendben harmonikus csoportot alkossanak.
És mivel a föltételbeli determinánst kifejtve éppen (10) bal oldalát kapjuk (a=1), azért a determináns eltűnése valóban szükséges föltétel.
 

II. Tegyük fel ‐ megfordítva ‐, hogy a determináns értéke 0. Ez ‐ mint láttuk ekvivalens (9') teljesülésével, s mivel itt a jobb oldal nem negatív, azért a bal oldali tényezők egyező előjelűek. Így a (9)-beli két négyzetgyök egyformán vagy valós, vagy tiszta képzetes, tehát ε, δ megválaszthatók úgy, hogy (9) két oldala előjelben is egyezzék. Legyen b2-c egyik, rögzített értéke P, és c2-e-nek az az értéke Q, amelyre PQ=d-bc. Ekkor a
p=-2(b+P),p'=-2(b-P),q=c+Q,q'=c-Q
kifejezésekre (6) ekvivalens (9)-cel, és mint a behelyettesítés mutatja, (4), (5), (7) és (8) mindegyike teljesül. Ha tehát x1, és x2, ill. x3 és x4 rendre a (2) jobb oldala első, ill. második tényezőjének 0 helyeit jelölik, ezek (8) teljesülése alapján harmonikus csoportot alkotnak. Ezzel bebizonyítottuk a kitűzésbeli föltétel elegendő voltát.
 

Komjáth Péter, Papp Zoltán

 

II. megoldás. Jelöljük az (x1-x3)(x2-x4)+(x1-x4)(x2-x3) kifejezés értékét K-val, a feladatban szereplő determinánst Δ-val, értékét pedig D-vel. Azt kell megmutatnunk, hogy K és D értéke egyszerre 0 vagy egyszerre nem 0, ha x1, x2, x3, x4 a Δ-ban szereplő együtthatókkal felírt egyenlet gyökei.
Ha a gyökökből levonunk egy t számot, vagyis őket az
x'1=x1-t,x'2=x2-t,x'3=x3-t,x'4=x4-t(11)
számokkal helyettesítjük, akkor K értéke nyilván változatlan marad. Vizsgáljuk meg, hogyan változik meg D értéke a (11) transzformáció hatására. A (11) alatti gyökök az
a(x-t)4+4b(x-t)3+6c(x-t)2+4d(x-t)+e=0
egyenlet gyökei, a (11) transzformáció tehát az együtthatókra az
a'=a,b'=-at+b,c'=at2-2bt+c,(12)d'=-at3+3bt2-3ct+d,e'=at4-4bt3+6ct2-4dt+e
transzformációt jelenti. Az új együtthatókkal felírt Δ' determináns értéke megegyezik az eredeti determináns értékével, hiszen ha Δ első oszlopának t-szeresét levonjuk a második oszlopból, majd az új második oszlop (-2t)-szeresét, és az első oszlop (-t2)-szeresét hozzáadjuk a harmadik oszlophoz, akkor az
aMMb-atMMc-2bt+at2bc-btd-2ct+bt2cd-cte-2dt+ct2
determinánst kapjuk. Ennek első sorának t-szeresét levonva a 2. sorból, majd az új második sor (-2t)-szeresét és az első sor (-t2)-szeresét a harmadik sorhoz hozzáadva Δ'-t kapjuk.
 

Válasszuk t-nek x4-et, ekkor x'4 értéke 0 lesz, elegendő tehát azzal az esettel foglalkoznunk, amikor x4=0, hiszen ha ez nem volna így, a fenti transzformációval olyan egyenletet kapunk, melyben az egyik gyök 0, és K, D értéke e transzformáció alatt változatlan marad. Ekkor
K=(x1-x3)x2+x1(x2-x3)=2x1x2-x3(x1+x2),
és e=0 miatt
abcD=bcd=2bdc-c3-ad2cd0

Az x1, x2, x3 számok az
ax3+4bx2+6cx+4d=0(13)
harmadfokú egyenlet gyökei. Ha van a gyökök között 0-val egyenlő, akkor d=0, és D=0 csak akkor lehet, ha még c=0 is teljesül. Ekkor tehát van (13)-nak még egy, 0-val egyenlő gyöke. Megmutatjuk, hogy ekkor K=0. Valóban, ha x1=x2=0, vagy x1=x3=0, vagy x2=x3=0, akkor K értéke mindig 0.
 

Megfordítva, ha van a gyökök között 0, akkor K=0 csak úgy lehet, ha c=0, hiszen a gyökök és együtthatók összefüggése alapján
6ca=x1x2+x3(x1+x2)=3x1x2-K.
Ha x3=0, akkor K=0 miatt x1x2-0, és c=0, ha pedig x1 vagy x2 értéke 0, akkor nyilván c=0.
Ezzel beláttuk, hogy ha van a gyökök között 0, akkor K és D értéke egyszerre 0. Ha nincs a gyökök között 0, akkor K értéke akkor és csakis akkor 0, ha
x3=2x1x2x1+x2,
vagyis ha x3 az x1 és x2 harmonikus közepe. Az 1701. feladatban* beláttuk, hogy ez akkor és csakis akkor 0, ha D=0, feladatunk megoldását befejeztük.
*Lásd K. M. L. 41 (1970) 205. o.