Feladat:	Pontversenyen kívüli P.64	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó G. ,  Balog J. ,  Balogh Z. ,  Bárdossy A. ,  Bendzsel M. ,  Czédli G. ,  Donga Gy. ,  Fábián K. ,  Ferró J. ,  Füredi Z. ,  Földvári Cs. ,  Gál P. ,  Gulyás A. ,  Győry Gy. ,  Göndőcs F. ,  Hanák G. ,  Horváth M. ,  Keszthelyi S. ,  Kirchner I. ,  Kisvarga J. ,  Komornik Vilmos ,  Kovács István ,  Lengyel J. ,  Less Gy. ,  Lévai G. ,  Martoni V. ,  Mészáros Gy. ,  Papp Gábor ,  Papp Z. ,  Pressing Lajos ,  Reviczky J. ,  Selényi P. ,  Simon Júlia ,  Vajnági A. ,  Waszlavik L. ,  Zágoni M.
Füzet:	1970/december, 213 - 215. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feltételes valószínűség, események, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/március: Pontversenyen kívüli P.64

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Bármerre indul is a sétáló a középpontból, az első útkereszteződésnél $\frac{1}{4}$ ‐ $\frac{1}{4}$ valószínűséggel választhat a következő esetek között: ‐ változatlan irányban folytatja útját, eljut a park sarkába és ott megáll; ‐ balra fordul és a park szélére érve megáll; ‐ jobbra fordul és a park szélére érve megáll; ‐ visszafordul a park közepére ér és újabb irányt választva folytatja útját. Jelöljük az első eseményt $S_1$-gyel, a következő kettőt együtt $F_1$-gyel, az utolsót $V_1$ gyel, ezek valószínűsége $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(S_1\right)=\frac{1}{4}\mathrm{,}P\left(F_1\right)=\frac{1}{2}\mathrm{,}P\left(V_1\right)=\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $S_1$, $F_1$ események után a folyamat megáll, a $V_1$ esemény után folytatódik, és megismétlődik a fenti választás ugyanezekkel a valószínűségekkel. Jelöljük ezeket az eseményeket $S_2$, $F_2$, $V_2$-vel, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(S_2\right)=\frac{1}{4}\mathrm{,}P\left(F_2\right)=\frac{1}{2}\mathrm{,}P\left(V_2\right)=\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezekre az eseményekre azonban csak akkor kerül sor, ha $V_1$ bekövetkezett, így másodszorra akkor jut a park sarkába a sétáló, ha a $V_1$ és $S_2$ események együttesen következnek be. Feladatunk szerint ez a két esemény független, így együttes bekövetkezésük valószínűsége $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(V_1{S}_2\right)=P\left(V_1\right)\cdot P\left(S_2\right)={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Útját akkor folytatja a sétáló, ha a $V_1{V}_2$ esemény következik be, ennek valószínűsége hasonlóan ${\left(1/4\right)}^2$. Általában akkor indul $n$-edszer is el a sétáló a park közepéről, ha a $V_1{V}_2\text{...}{V}_{n-1}$ esemény következett be, ennek valószínűsége az egyes események függetlensége miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(V_1{V}_2\cdot \text{...}\cdot V_{n-1}\right)=P\left(V_1\right)\cdot P\left(V_2\right)\cdot \text{...}\cdot P\left(V_{n-1}\right)={\left(1/4\right)}^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $n$-edik elkezdés után az $S_n$, $F_n$, $V_n$ események következhetnek be, ezek valószínűsége $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(S_n\right)=\frac{1}{4}\mathrm{,}P\left(F_n\right)=\frac{1}{2}\mathrm{,}P\left(V_n\right)=\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ A sétáló az $n$-edik útkezdés után akkor jut a park sarkába, ha a $V_1{V}_2\cdot \text{...}\cdot V_{n-1}{S}_n$, esemény következik be, jelöljük ezt az eseményt $A_n$-nel. $A_n$ valószínűsége ezeknek az eseményeknek a függetlensége miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(A_n\right)=P\left(V_1{V}_2\cdot \text{...}\cdot V_{n-1}{S}_n\right)=P\left(V_1{V}_2\cdot \text{...}\cdot V_{n-1}\right)\cdot P\left(S_n\right)={\left(1/4\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$ Az az $A$ esemény, hogy a sétáló eljut a park sarkába, az egymást páronként kizáró $A_1\mathrm{,}{A}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_n$, események összege, így $A$ valószínűsége ezen események valószínűségének az összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(A\right)=\sum _{n-1}^{\infty }P\left(A_n\right)=\sum _{n-1}^{\infty }{\left(\frac{1}{4}\right)}^n=\frac{1/4}{1-\left(1/4\right)}=\frac{1}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát $1/3$ annak a valószínűsége, hogy a sétáló a park valamelyik sarkába jut.   Pressing Lajos (Veszprém, Lovassy L. Gimn.)   II. megoldás. Megoldásunkban felhasználjuk a feltételes valószínűség fogalmát és a rá vonatkozó összefüggéseket.1 Tovább használjuk az I. megoldásban bevezetett jelöléseket. A teljes valószínűség tétele szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(A\right)=P\left(S_1\right)\cdot P\left(A/S_1\right)+P\left(F_1\right)\cdot P\left(A/F_1\right)+P\left(V_1\right)\cdot P\left(A/V_1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A $P\left(A/S_1\right)$ feltételes valószínűség $1$, hiszen $S_1$, maga után vonja $A$-t. $P\left(A/F_1\right)=0$, mert $A$ és $F_1$ egymást kizáró események. Feladatunk szerint $P\left(A/V_1\right)=P\left(A\right)$, hiszen a $V_1$, esemény bekövetkezése esetén a sétáló ismét a park közepéről indul, és hogy ezután eljut a park sarkába, annak most is ugyanaz a valószínűsége, mint az első induláskor. Ezek alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(A\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot P\left(A\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan ismét $P\left(A\right)=1/3$.   Komornik Vilmos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.) 1 Megtalálhatók pl.: Éltető Ödön‐L. Ziermann Margit: Matematikai statisztika (Középiskolai Szakköri Füzet). Tankönyvkiadó, Budapest, 1961, 19. o.