|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.64 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bacsó G. , Balog J. , Balogh Z. , Bárdossy A. , Bendzsel M. , Czédli G. , Donga Gy. , Fábián K. , Ferró J. , Füredi Z. , Földvári Cs. , Gál P. , Gulyás A. , Győry Gy. , Göndőcs F. , Hanák G. , Horváth M. , Keszthelyi S. , Kirchner I. , Kisvarga J. , Komornik Vilmos , Kovács István , Lengyel J. , Less Gy. , Lévai G. , Martoni V. , Mészáros Gy. , Papp Gábor , Papp Z. , Pressing Lajos , Reviczky J. , Selényi P. , Simon Júlia , Vajnági A. , Waszlavik L. , Zágoni M. |
Füzet: |
1970/december,
213 - 215. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Klasszikus valószínűség, Feltételes valószínűség, események, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1970/március: Pontversenyen kívüli P.64 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Bármerre indul is a sétáló a középpontból, az első útkereszteződésnél ‐ valószínűséggel választhat a következő esetek között: ‐ változatlan irányban folytatja útját, eljut a park sarkába és ott megáll; ‐ balra fordul és a park szélére érve megáll; ‐ jobbra fordul és a park szélére érve megáll; ‐ visszafordul a park közepére ér és újabb irányt választva folytatja útját. Jelöljük az első eseményt -gyel, a következő kettőt együtt -gyel, az utolsót gyel, ezek valószínűsége | |
Az , események után a folyamat megáll, a esemény után folytatódik, és megismétlődik a fenti választás ugyanezekkel a valószínűségekkel. Jelöljük ezeket az eseményeket , , -vel, akkor | | Ezekre az eseményekre azonban csak akkor kerül sor, ha bekövetkezett, így másodszorra akkor jut a park sarkába a sétáló, ha a és események együttesen következnek be. Feladatunk szerint ez a két esemény független, így együttes bekövetkezésük valószínűsége | | Útját akkor folytatja a sétáló, ha a esemény következik be, ennek valószínűsége hasonlóan . Általában akkor indul -edszer is el a sétáló a park közepéről, ha a esemény következett be, ennek valószínűsége az egyes események függetlensége miatt | | Az -edik elkezdés után az , , események következhetnek be, ezek valószínűsége | |
A sétáló az -edik útkezdés után akkor jut a park sarkába, ha a , esemény következik be, jelöljük ezt az eseményt -nel. valószínűsége ezeknek az eseményeknek a függetlensége miatt | |
Az az esemény, hogy a sétáló eljut a park sarkába, az egymást páronként kizáró , események összege, így valószínűsége ezen események valószínűségének az összege: | | Tehát annak a valószínűsége, hogy a sétáló a park valamelyik sarkába jut.
Pressing Lajos (Veszprém, Lovassy L. Gimn.) | II. megoldás. Megoldásunkban felhasználjuk a feltételes valószínűség fogalmát és a rá vonatkozó összefüggéseket. Tovább használjuk az I. megoldásban bevezetett jelöléseket. A teljes valószínűség tétele szerint | |
A feltételes valószínűség , hiszen , maga után vonja -t. , mert és egymást kizáró események. Feladatunk szerint , hiszen a , esemény bekövetkezése esetén a sétáló ismét a park közepéről indul, és hogy ezután eljut a park sarkába, annak most is ugyanaz a valószínűsége, mint az első induláskor. Ezek alapján ahonnan ismét .
Komornik Vilmos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.) | Megtalálhatók pl.: Éltető Ödön‐L. Ziermann Margit: Matematikai statisztika (Középiskolai Szakköri Füzet). Tankönyvkiadó, Budapest, 1961, 19. o. |
|