|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.62 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bacsó Gábor , Cseresnyés Mária , Ferró József , Füredi Zoltán , Földvári Csongor , Gulyás András , Göndőcs Ferenc , Kirchner Imre , Kisvarga József , Komjáth Péter , Komócsi Sándor , Papp Zoltán , Reviczky János , Szendrei Ágnes , Vajnági András , Vogel Anna |
Füzet: |
1971/január,
22 - 25. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Rekurzív eljárások, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1970/március: Pontversenyen kívüli P.62 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Nyilvánvaló, hogy minden esetére az -nél nagyobb számot kapunk, ha a közös 2 alap fölé mindenütt nagyobb kitevőt írunk. Legyen kifejezésében a kitevő az beli helyén rendre a következő: | | (2) | (vagyis az utolsó kitevő második tagja 2, az előbbieké 1), tehát | | és A kapott számok közös értéke viszon ez tehát az számoknak egy közös korlátja. Valóban, a legbelső, az ()-edik négyzetgyök egyenlő a közvetlen előtte álló taggal, hiszen a gyök alatti kitevő kétszer akkora, mint a közvetlen előtte álló tagé; így az -edik gyökjel alatt e tag 2-szerese, áll. A további gyökvonások során ugyanez ismétlődik, és még gyökvonást végrehajtva függetlenül az -től. Azt kell már csak igazolnunk, hogy a (2) kitevősorozat minden egyes tagja nagyobb az (1)-beli megfelelőjénél, azaz ha , akkor Ez esetén igaz. Ha pedig valamely -ra teljesült, akkor a következőre
és ezt akartuk megmutatni.
II. megoldás. Jelöljük az -beli (elölről számítva) -adik gyökjel alatti kifejezést -val. Megmutatjuk, hogy esetén Ez -re igaz, mert . Ha mármost (3) teljesül egy -ra (), akkor | | hacsak amint állítottuk. Eszerint pedig amint a feladat állítja.
III. megoldás. Az számsorozat szigorúan monoton növekvő, minden egyes tagja nagyobb az előtte állónál: , mert bennük a (kívülről számított) -edik négyzetgyökjel alatt rendre áll, ahol a nagyságviszony nyilvánvaló, és ebből a két számból már ugyanazokkal a lépésekkel haladunk: és kiszámításában és a váltakozva végzett négyzetgyökvonások és ugyanazon szám hozzáadásai ezt a nagyságviszonyt változatlanul hagyják. Eszerint ha , akkor . Megmutatjuk másrészt, hogy Szorozzuk meg evégett -et -vel a következő módon. Az első gyökjel alatti tagokat 2-vel, de a második tag, a négyzetgyök alá vigyük be a szorzót, ott tehát 2-nek már a négyzetével szorzunk, hasonlóan a harmadik gyökjel alatt a -ik hatványával, és így tovább, az ()-edik négyzetgyökjel alatt már lesz a szorzó. Ezáltal -nek () gyökjelet tartalmazó kifejezése: | | vagyis a ()-edik gyökjel alatti első tag (): Ezzel szemben -nek a ()-edik gyökjele alatti első tag a definíció szerint és mivel a kitevők között nyilvánvalóan fennáll a egyenlőtlenség, ha , azért valóban és monoton növekedése alapján Innen négyzetreemeléssel (hiszen ), átrendezéssel Végül mivel , és így
tehát (A most kapott felső korlát nagyságra nézve az I. és II megoldásban kapottak között áll.)
|
|