Feladat: Pontversenyen kívüli P.61 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Füredi Z. ,  Földvári Cs. ,  Göndőcs F. ,  Kirchner I. ,  Papp G. ,  Selényi P. ,  Szabó Gy. ,  Vajnági A. 
Füzet: 1970/december, 211 - 213. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Vetítések, Indirekt bizonyítási mód, Térgeometriai bizonyítások, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/március: Pontversenyen kívüli P.61

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Bebizonyítjuk a következő segédtételt: két adott, közös pont nélküli, zárt, konvex alakzat elválasztható egy síkkal; pontosabban: megadható hozzájuk olyan sík, hogy az általa meghatározott, nyílt félterek mindegyike az egyik ‐ és csak az egyik ‐ alakzatot tartalmazza.
Könnyen bizonyítható, hogy ha K1 és K2 két zárt, konvex alakzat, akkor létezik olyan K1-beli P1 és hozzá egy K2-beli P2 pont, hogy P1'-vel a K1-nek, P2'-vel a K2-nek egy-egy tetszőleges pontját jelölve, a P1'P2' távolság legalább akkora, mint a P1P2 távolság. Ha K1-nek és K2-nek nincs közös pontja ‐ mint esetünkben ‐, akkor P1P2=d>0, P1 és P2 különbözők. Ekkor a P1P2 szakasz felező merőleges síkja egy, a fentiek szerinti elválasztó sík, és elválasztja K1-et K2-től minden olyan S sík is, amely ezzel párhuzamos és a P1P2 szakaszt ennek egy belső pontjában metszi.
Az állítást az ilyen S-ekre bizonyítjuk. Előrebocsátjuk, hogy a mondottak szerint a P1 körüli, d sugarú G gömbnek nyilvánvalóan nincs közös belső pontja K2-vel.
Tegyük föl ‐ állításunkkal ellentétben ‐, hogy K2-nek van az S-sel közös P2* pontja. Ez nem azonos P2-vel, mert P2 nincs rajta S-en. Így a P2P2* szakasz minden pontja beletartozik K2-be, mert K2 konvex. Van tehát e szakasznak ‐ és vele K2-nek is ‐ a G belsejébe eső P2** pontja, bárhol van is P2* az S-en, ugyanis P2-től P2* felé indulva közeledünk S-hez, belépünk G-be, hiszen G-nek P2-beli érintősíkja párhuzamos S-sel. Így pedig P1P2**<P1P2, ami ellentmondás; K2-nek nincs tehát pontja S-en.
Nem lehet pontja K2-nek a P1-et tartalmazó féltérben sem, mert ha volna, akkor az ezt P2-vel összekötő szakasz átdöfné S-et, és a szakasszal együtt a döféspont is K2-be tartoznék, aminek lehetetlen voltát már beláttuk. ‐ Az indexek fölcserélésével K1-re is érvényes állításunk.
2. A feladat feltevése nem zárja ki, hogy a három test közül csak kettőt választva, ezeknek legyen közös pontja.
3. Segédtételünk alapján könnyű belátni a feladat állítását arra az esetre, ha van a három konvex test között olyan kettő, melyeknek nincs közös pontja. Ugyanis ezt a két testet véve az előbbi K1 és K2 szerepére, továbbá vetítési iránynak egy S-beli egyenes irányát, végül egy az irányhoz hajló (azaz hegyes vagy derékszöget bezáró) síkot, e síkon mindhárom test vetülete létrejön, és az első két vetületnek nem lesz közös pontja. Valóban, így S vetülete egyenes, a félterek vetületei nem nyúlnak egymásba, ugyanígy K1 és K2-éi sem, ekkor pedig a három vetületnek sem lehet közös pontja.
4. Ha pedig nincs a három test: C1, C2 és C3 közt a fenti K1 és K2 szerepére alkalmas pár ‐ vagyis bármelyik kettőnek van közös pontja, akkor a 3. pont meggondolását először a C1 és C2 testek közös C12 részére alkalmazzuk. Ez feltevésünk szerint nem üres, továbbá nyilvánvalóan zárt és konvex, végül a feladat föltevése szerint nincs közös pontja C3-mal, van tehát olyan S1 sík a segédtétel szerint, amely elválasztja C12-t C3-tól.
Ekkor a C3-at tartalmazó zárt féltérben C1-nek is, C2-nek is van része, e C1*, C2* részeknek azonban nincs közös része, továbbá nyilvánvalóan mindkét rész zárt és konvex. Így megadható egy őket szétválasztó S2 sík (minket azonban ennek csak az a félsíkja érdekel, amely a C3-at tartalmazó féltérben van). Ekkor S2-nek S1-gyel való metszésvonala alkalmas vetítési irány. Valóban, így S1 vetülete egy s1 egyenes, S2 mondott félsíkjának vetülete egy s2 félegyenes és ezek úgy vágják szét a vetítési síkot, hogy C3 vetülete s1-nek egyik oldalán van, és s2 elválasztja C1* és C2* vetületét.

 

 

A mondott vetítési irány egyértelműen létezik, mert S2 sem azonos, sem párhuzamos nem lehet S1-gyel, hiszen S1-en van C1*-beli pont is, C2*-beli is, és ezek szétválasztására sem maga S1 nem alkalmas, sem egy vele párhuzamos sík. Ezzel a bizonyítást befejeztük.