A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Feladatunk első részét általánosabban oldjuk meg: azt tesszük fel, hogy a kör kerületét egyenlő részre osztjuk; ekkor a feladatban mondott eljárást mellett kapjuk. Mérjük a kerület pontpárjainak távolságát az általuk meghatározott (kisebbik) körív hosszával, és válasszuk egységnek a kerület -ed részét. Egy választott háromszög nyilván akkor szokványos, ha csúcsainak távolsága legalább . Mivel minden ponthármast egyenlő valószínűséggel választunk, a kérdezett valószínűség a választható szokványos háromszögek és az összes választható háromszög számának a hányadosával egyenlő. Számláljuk össze a háromszögeket úgy, hogy csúcsaikat egymás után határozzuk meg. Így minden háromszöget (választhatót is, szokványosat is) -szor számolunk, hiszen csúcsát sorrendben határozhatjuk meg, a keresett hányados értéke tehát változatlan marad. Összesen háromszöget kapunk, hiszen az első csúcs a osztópont bármelyike lehet, és a másodikat, harmadikat a visszamaradó , illetve osztópont közül választhatjuk. Egy szokványos háromszög első csúcsát ugyancsak -féleképpen választhatjuk meg. Jelöljük a választott osztópontot -lal, és ebből kiindulva pozitív forgásirányban a további osztópontokat jelölje rendre , , , . Mivel a második csúcsot az elsőtől legalább távolságra kell választanunk, azt csak az , osztópontok közül választhatjuk. Tegyük fel, hogy második csúcsnak -t választottuk, ahol tehát , és válasszuk a harmadik csúcsot a pozitív forgásirány szerint után, de előtt. A harmadik csúcsnak -tól is, -tól is legalább távolságra kell lennie, ilyen pont csak akkor van, ha -tól pozitív forgás szerint legalább távolságra van, vagyis . Ha ez teljesül, akkor a harmadik csúcsot az osztópontok közül választhatjuk, ami e csúcs választására lehetőséget jelent. lehetséges értékeit is figyelembe véve, ha a 3. csúcsot a 2. után választjuk, e két csúcs választására | | lehetőségünk van, ha azt akarjuk, hogy a kapott háromszög szokványos legyen. Nyilván ugyanennyi a lehetőségek száma, ha a 3. csúcsot a 2. csúcs előtt választjuk, az összes kiválasztás száma tehát (figyelembe véve az első csúcs választását is) . Ezek szerint szokványos háromszög választásának valószínűsége | | Ennek értéke mellett , ami közvetlenül is látható: ha a csúcsokat egy szabályos hatszög csúcsai közül választjuk (1. ábra), akkor minden háromszög szokványos. 1. ábra értékét növelve értéke monoton csökken, és mellett b) Tegyük fel ismét, hogy a csúcsokat egymás után választjuk meg. Az első csúcs választásának még semmi hatása nincs a kialakuló háromszög alakjára, tegyük fel, hogy ezt már megválasztottuk a kör kerületén. Az, hogy a második csúcsot tetszőlegesen választjuk a kerületen, pontosabban azt jelenti, hogy ha kijelölünk egy ívet a kerületen, akkor annak a valószínűsége, hogy a második csúcsot a mondott íven választjuk, arányos az ív hosszával. Válasszuk egységnyinek a kör kerületét, és határozzuk meg a második csúcs helyzetét az első csúcstól pozitív forgásirányban mért távolságával, jelöljük azt az értéket -szel. értékét tehát és között választjuk ,,tetszőlegesen'', amit az előbb megfogalmazott módon mondhatunk pontosabban. Hasonlóan választhatjuk a harmadik csúcsot is, ennek helyét a és közötti számmal fogjuk jellemezni. Meg kell állapítanunk, mi a kapcsolat a két érték választása között. Azt szeretnénk, ha a két érték választása között ,,semmi kapcsolat'' sem volna, ezt azonban nem tudjuk pontosabban megfogalmazni. Elérjük azonban, amit akarunk, ha az , értékeket egy pont két koordinátájának tekintjük, és a pontot választjuk a sík egységnégyzetében ,,tetszőlegesen''. Ez utóbbit ismét meg tudjuk pontosan fogalmazni: akkor választjuk -t tetszőlegesen a négyzetben, ha annak valószínűsége, hogy -t a négyzet valamely adott tartományában választjuk, arányos e tartomány területével. (Mivel a négyzet területe egységnyi, e valószínűség egyszerűen egyenlő a tartomány területével.) Meg kell tehát határoznunk, az egységnégyzet melyik részén vannak azok a pontok, melyeknek szokványos háromszögek felelnek meg. Tegyük fel először, hogy , ekkor a csúcsok közti ívek hossza, rendre , , . A háromszög akkor szokványos, ha ezek nem kisebbek a teljes kerület hatodánál, azaz Ezek az egyenlőtlenségek egy derékszögű háromszöget határoznak meg, csúcsainak koordinátái: , , , és befogóinak hossza (2. ábra). 2. ábra Az esetnek megfelelő tartományt az , szerepének felcserélésével kapjuk, ez tehát az előbbi háromszögnek az egyenesre vonatkozó tükörképe. E két háromszög területének összege , ez egyben a szokványos háromszög választásának a valószínűsége is. Megjegyzés. A kapott eredmény megegyezik az a) részben kapott határértékével, ha tart a végtelenbe. Ez azt mutatja, hogy helyesen adtuk meg a b) részben a ,,tetszőleges'' választás pontos megfogalmazását. Pusztán e határérték meghatározását azonban nem tekinthetjük a b) rész megoldásának, hiszen ennél ‐ mint láttuk ‐ a lényeges nehézséget épp a feladat pontos megfogalmazása okozta. Ez igen gyakran előfordul a valószínűségszámítással kapcsolatos feladatoknál ‐ és arra is könnyű példát mutatni, hogy ha a szemléletesen megfogalmazott feladatot pontosabbá akarjuk tenni, akkor erre többféle eljárás is megadható, és ezeknél a végeredmény is eltérő lehet. Feladatunkban ezt az a hallgatólagos feltevés zárta ki, hogy a b) részben az a) részhez hasonló eljárást kívántunk meghatározni.
|