Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.56	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Füredi Zoltán , Göndőcs Ferenc , Prőhle Tamás
Füzet:	1970/november, 143 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Pont körüli forgatás, Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: Pontversenyen kívüli P.56

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. A kérdéses $ω$ szögre az 1699. feladatban ezt találtuk:

\begin{matrix} ctg ω = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 t}, \end{matrix}

(

a

b

c

a háromszög oldalai,

t

a területe) a

K

pontra pedig azt, hogy egyértelműen létezik a háromszög belsejében, ezért

ω

abszolút értéke kisebb a háromszög mindegyik szögénél, tehát hegyesszög, és

K

két kör metszéseként megszerkeszthető.

A 24. problémában bevezetett

ω

segédszög pedig az a szög volt, amelyre

\begin{matrix} cos ω = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{S}, sin ω = \frac{4 t}{S}, \end{matrix}

(1)

ahol

S

természetesen a két számláló négyzetösszegéből vont (pozitív) négyzetgyök. Mindkét számláló pozitív, így

ω

is hegyesszög, így a két szög egyenlő volta közvetlenül látható (ezért is használtuk mindjárt mindkettőre az

ω

jelölést).
II. A

H_{1}

háromszögnek

H

-hoz képest való, I. típusú elhelyezését így adta meg a probléma megoldása:

H

-t elforgatjuk

A

körül egy alkalmas

φ

szöggel az

A B' C'

helyzetbe, majd tükrözzük az

A B'

szakasz felezőpontjára. (A pontra való tükrözés a körüljárás irányát nem változtatja.) A mondott

φ

-re és a bevezetett

ω

segédszögre ezt találtuk:

\begin{matrix} sin (φ + ω) = \frac{8 t}{S}, \end{matrix}

(2)

és ebből azt olvastuk ki, hogy a szabályos háromszög esetétől eltekintve ‐ ahol

sin (φ + ω) = 1

adódik ‐

0 < sin (φ + ω) < 1

, tehát

φ + ω

-ra 2 értéket kapunk és

ω

egyértelműsége alapján

φ

-re is. (A levezetésben pozitív körüljárású

A B C

háromszögből indultunk ki és

φ

-t a pozitív forgási irányban mértük.)
Mármost egybevetve (1)-et (2)-vel

\begin{matrix} sin (φ + ω) = 2 sin ω, \end{matrix}

ennek alapján

φ

-t az alábbiak szerint szerkesztjük. A pozitív körüljárású

A B C

háromszögben az 1699. feladatban leírt körök metszéspontjaként megszerkesztjük azt a

K

pontot, amelyre a

K A C

K B A

K C B

forgásszögek egyenlők (ezek a feladat 1. megjegyzése szerint pozitívok is). Párhuzamost húzunk

A C

-vel a

K

-t tartalmazó partján, 2-szer akkora távolságban, mint

K

-nak

A C

-től való távolsága. Ezt metsszük át az

A

körüli,

A K

sugarú körívvel az

L_{1}

L_{2}

pontban. Ekkor

L_{i} A C ∢ = φ_{i} + ω

(i = 1, 2)

, és így

φ_{i} = L_{i} A K ∢

. Ezzel a szöggel végezzük a fönt említett forgatást, majd tükrözést. ‐ Az ábrán azonban megfordítottuk a két lépés sorrendjét: előbb tükröztük

A B C

-t

A B

felezőpontja körül az

A^{*} B^{*} C^{*} = B A C^{*}

helyzetbe, majd ezt fordítottuk el

B^{*}

körül

φ_{1}

-gyel az

A_{1} B^{*} C_{1}

φ_{2}

-vel az

A_{2} B^{*} C_{2}

helyzetbe, és ekkor

B C_{1} ∥ C A_{1}

B C_{2} ∥ C A_{2}

.
A szerkesztés igazolását az olvasóra hagyjuk.

Prőhle Tamás, Füredi Zoltán, Göndőcs Ferenc