|
| Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.53 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
| Megoldó(k): |
Csetényi A. , Fazekas Á. , Füredi Zoltán , Földvári Cs. , Győry Gy. , Göndőcs F. , Horváth Miklós , Iglói Ferenc , Katona E. , Kirchner I. , Komjáth P. , László A. , Lempert L. , Martoni V. , Papp Zoltán , Prőhle T. , Reviczky J. , Simon Júlia , Tarsó B. |
| Füzet: |
1970/május,
218 - 219. oldal |
 PDF | MathML |
| Témakör(ök): |
Oszthatósági feladatok, Négyzetrács geometriája, Skatulyaelv, Pontversenyen kívüli probléma |
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1970/január: Pontversenyen kívüli P.53 |
|
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Osztályozzuk az adott rácspontokat két koordinátájuk páros vagy páratlan volta ‐ röviden paritása ‐ szerint. osztály lehetséges: mindkét koordináta páros, csak az első páros, csak a második páros, végül egyik sem. Így legalább egy olyan osztály lesz, amelybe legalább pontunk jut.
Mármost két ugyanazon osztályba sorolt rácspont közti szakasz felezőpontja ugyancsak rácspont, hiszen koordinátái rendre egyenlők a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepével, és egyező paritású számok számtani közepe egész szám. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Megjegyzések. 1. Az állításnál valamivel többet bizonyítottunk be, ti. hogy az adott 5 rácspontból kivehető olyan pár, melyek összekötő szakaszának felezőpontja is rácspont. ‐ Természetesen esetenként lehet olyan további pár is, melyre pl. a harmadoló pont rácspont, de a felezőpont nem.
2. Az állítás tetszőleges paralelogramma-rácsra (ferdeszögű koordináta-rendszerre) is érvényes, hiszen a felezőpont koordinátáinak megállapításában sem a koordináta-tengelyek közti szög derékszög voltát nem használtuk ki, sem azt, hogy a két tengelyen ugyanazt a szakaszt választjuk egységül.
3. Az állítás kiterjeszthető magasabb dimenziókra is. Nevezzük az -dimenziós tér rácspontjainak az egész számokból álló (, , ) szám--eseket. Ezekből különböző osztályt alkothatunk aszerint, hogy az első, a második s i. t. az -edik koordináta páros vagy páratlan. Ha tehát rácspontot adunk meg bárhogy is, lesz kettő, mondjuk (, , ) és (, , ), amelyek ugyanabban az osztályban vannak, vagyis amelyekre és ugyanolyan párosságú (, , , ). Ekkor ,,összekötő szakaszuk felező pontja'', az pont is rácspont.
Magyarul: párossága; ez az idegen szó sokkal ismertebb a közgazdaságtanban használt jelentésével. |
|