A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az háromszög köré írt kör középpontja , a háromszögbe írt kör középpontja , a és pontoknak a vetülete a egyenesen és , az egyenesen és . Az -n át -vel párhuzamosan húzott egyenes messe -t ban, az -n átmenő, -vel párhuzamos egyenesnek és -nak a metszéspontja legyen . 1. ábra A bizonyítást az 1. ábra viszonyaira fogjuk elmondani. Az négyszögben -nál és -nál derékszög van, ez tehát húrnégyszög. Megmutatjuk, hogy az egyenesnek az és egyenesekkel alkotott szögeinek összege egyenlő az szöggel; ezzel feladatunk állítását bebizonyítjuk, hiszen ez utóbbi derékszög. és szöge egyenlő a szöggel, hiszen . A szög egyenlő a szöggel, mert húrnégyszög. Elegendő tehát megmutatni, hogy a és háromszögek hasonlóak. E két háromszög , illetve csúcsra támaszkodó oldalai párhuzamosak, megmutatjuk, hogy az arányuk is megegyezik. A feladat szerint . Ismeretes, hogy , emiatt | | Tehát , és hasonlóan kapjuk, hogy . Megjegyzések. 1. Az és középpontok akkor és csak akkor esnek egybe, ha a háromszög szabályos, akkor viszont és is egybeesik. Így a feladat állítása értelmét veszti. 2. Nem nehéz megfelelően módosítani a bizonyítást az ábrán láthatótól különböző elhelyezkedés esetén sem, vagy belátni, hogy állításaink érvényesek tetszőleges háromszögre, ha az előforduló szögeket és szakaszokat irányított mennyiségeknek tekintjük. Elkerülhetjük azonban a diszkusszióval járó nehézségeket vektorok használatával is. II. megoldás. A vektor az egyenlő abszolút értékű , , vektorok összegével egyenlő, e vektorok iránya pedig rendre az háromszög megfelelő oldalvektorának az irányával egyezik meg. 2. ábra Elegendő tehát megmutatni, hogy (2. ábra): ahol , a , , oldalvektorokkal megegyező irányú egységvektorok. Vektorok skaláris szorzatát felhasználva ezt a következő módon láthatjuk be. Legyen az , , , pontokhoz a centrumból húzott helyvektor rendre , , , , akkor
hiszen pl. az egyenes merőleges minden olyan egyenlő szárú háromszög alapjára, melynek szárai egyirányúak az , oldalakkal. Összefüggéseinket összeadva kapjuk, hogy | | Itt a második tag 0, mert pl. az vektor merőleges -re, így , és hasonló módon , . Így amint azt bizonyítanunk kellett. Megjegyzések. 1. Könnyen belátható a következő állítás: egységnek a háromszög köré írt kör sugarát véve, a -ból induló és az oldalakra, merőlegesen álló három egységvektor összege éppen a vektor (3. ábra, a vektorok irányítása: mindegyik csúcstól a szemben levő oldal felé). 3. ábra Ha pedig két vektor irányítását ellentétesre fordítjuk, az összegvektor végpontja a harmadik oldalhoz hozzáírt érintő kör középpontjában lesz. 2. Utóbbi megoldásunkból kiolvasható a következő egyszerű állítás bizonyítása is. Legyen egyenlő szárú trapéz. Emeljünk merőlegest az szár végpontjaiban az oda befutó átlókra, ezek metszéspontja legyen , pedig legyen az átlók metszéspontja. Akkor merőleges -re (4. ábra). 4. ábra |