I. megoldás. Indirekt úton bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van két olyan szám: $a$ és $b$, hogy sem $a$, sem $a+p$, sem $b$, sem $b+p$ nem áll elő két különböző osztálybeli szám összegeként. Jelölje $a$ közülük a nagyobbikat. Tekintsük azt az osztályt, amelyben a $0$ van. Ha akár $a$, akár $b$ a másikban lenne, akkor $a$-nak, ill. $b$-nek nem volna meg a kívánt tulajdonsága (hiszen $0+a=a$, és $0+b=b$), ezért $a$ és $b$ a $0$-t tartalmazó osztályban van.
Ugyanilyen meggondolással, ha ebben az osztályban van $x$, akkor ebben van $\left(b-x\right)$ ($\text{mod }p$) is^{${}^{*}$} és $\left\{a-\left(b-x\right)\right\}\text{ (mod }p)$ is. Ezt $x=a-b$-re alkalmazva adódik, hogy $2\left(a-b\right)\text{ (mod }p)$ is a $0$-t tartalmazó osztályban van. Hasonlóképpen $x=2$ $\left(a-b\right)\text{ (mod }p)$-re alkalmazva megint adódik, hogy $3\left(a-b\right)\text{ (mod }p)$ is a $0$-t tartalmazó osztályban van. Tovább folytatva azt kapjuk, hogy