A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a kiindulási köröket -gyel és -vel és húzzuk meg egyik közös érintőjüket, -t. Egyértelműség kedvéért legyen a körök -hez közelebbi metszéspontja. A és , ill. az ennek megfelelő és jelölést úgy válasszuk meg, hogy teljesüljön. (Ha , akkor a kívánt pont nem létezik, s így a feladat értelmét veszti.) Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a körön van. Ha akkor az pont egyértelműen meghatározott, -nek a -n túli meghosszabbításán van. Vezessük be még a következő jelöléseket: jelölje , ill. az , , pontokon, ill. az , , pontokon átmenő kört, s legyen a kör középpontja (=1, 2, 3, 4), , , , , pedig rendre az , , , , szakasz felezőpontja. Vegyük észre, hogy távolabb van -től, mint , továbbá azt, hogy az egyenesnek két különböző oldalán van és .
Az egyenes a és körök közös húrja, ezért merőleges a középpontjaikat összekötő egyenesre. Ezért azt bizonyítjuk, hogy az egyenes párhuzamos -vel. E célból húzzunk párhuzamost -vel -n át, s jelöljük , , betűvel az , , pont merőleges vetületét ezen az egyenesen. Mivel és párhuzamosak, így állításunk helyességéhez elegendő egyenlőségüket bizonyítani. A következőkben ezt fogjuk megtenni. Mindenekelőtt állapítsuk meg a következőket: és Az háromszög és háromszög hasonlóak, hiszen az -nél, ill. -nél levő szögeik derékszögek, míg az -nál és -nál levő szögek merőleges szárú szögek. Így Az háromszög és háromszög ugyancsak hasonlóak, így Ugyanígy az háromszög és háromszög hasonlósága miatt míg az háromszög és háromszög hasonlósága miatt (és így ) elnevezése miatt (4) és (6) segítségével ebből
azaz Végül definíciója miatt: ahonnan Mármost (1), (2), (7) és (8) segítségével (5) így alakítható át: | | Mivel pedig azért (3) alapján | | ami bizonyítandó volt. Hasonlóan bizonyítható az állítás akkor is, ha szerepét az -től távolabbi metszéspont játssza. (Ha előjeles távolságokkal dolgozunk, nincs szükség erre a megkülönböztetésre.)
Donga György (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.) | Megjegyzés. A bizonyítás elvégezhető valamely az körüli körre vonatkozó inverz alakzatokra való áttéréssel is.
|