Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.46	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Göndőcs Ferenc , Horváthy P. , Iván László , Lempert László , Martoni Viktor , Pál Jenő , Papp Zoltán , Török István , Vajnági András
Füzet:	1970/április, 165 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Függvény határértéke, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/november: Pontversenyen kívüli P.46

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bevezetünk néhány jelölést, hogy könnyebben tudjuk magunkat kifejezni: $sign u$ jelentse a következő függvényt:

\begin{matrix} sign u = {\begin{matrix} 1, & ha u > 0, \\ 0, & ha u = 0, \\ - 1, & ha u < 0. \end{matrix} \end{matrix}

u \neq 0

(sign u) \cdot \infty

jelentse a

+ \infty

, ill.

- \infty

tágabb értelemben vett határértéket aszerint, hogy

u

pozitív vagy negatív. Az

f (x)

függvény jobb, ill. bal oldali határértékét a 0 helyen (vagyis ha

x

csak pozitív, ill. csak negatív számokon át tart 0-hoz) így jelöljük:

\begin{matrix} {lim}_{x \to + 0}^{} f (x), ill. {lim}_{x \to - 0}^{} f (x) . \end{matrix}

A feladat megoldására térve, feltevésünk szerint

a \to 0

, de

a \neq 0

α

) Ha

b = c = 0

, akkor mindkét gyök 0 minden

a \neq 0

-ra, tehát

\begin{matrix} {lim}_{a \to 0}^{} x_{1,2} = 0. \end{matrix}

β

) Ha

c = 0

, de

b \neq 0

, akkor

\begin{matrix} x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a}, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} {lim}_{a \to 0}^{} x_{1} = 0, \end{matrix}

másrészt léteznek a következő, tágabb értelemben vett határértékek:

\begin{matrix} {lim}_{a \to + 0}^{} x_{2} = (- sign b) \cdot \infty, {lim}_{a \to - 0}^{} x_{2} = (sign b) \cdot \infty . \end{matrix}

Mivel azonban az

a \to 0

feltevés megengedi, hogy

a

tetszőleges előjelű értékeket vehessen fel, azért

\begin{matrix} {lim}_{a \to 0}^{} x_{2} \end{matrix}

tágabb értelemben sem létezik, csupán ez igaz:

\begin{matrix} {lim}_{a \to 0}^{} | x_{2} | = + \infty . \end{matrix}

γ

)

b = 0

és

c \neq 0

esetén

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[]{- \frac{c}{a}}, x_{2} = - \sqrt[]{- \frac{c}{a}}, \end{matrix}

tehát ha

sign a = sign c

, akkor nincs valós gyök, míg ha

sign a = - sign c

, akkor mindkét gyök valós. Ezért ‐ mivel

sign c

rögzített, viszont

a \to 0

esetén

sign a

felveheti

a + 1

és

a - 1

értékek mindegyikét ‐,

\begin{matrix} {lim}_{a \to 0}^{} x_{1,2} \end{matrix}

nem létezik. Mindkét gyöknek vagy a jobb vagy a bal oldali, tágabb értelemben vett határértéke létezik

c

előjelétől függően, és ez

+ \infty

, ill.

- \infty

δ

) Végül

c \neq 0

b \neq 0

esetén

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{(- b \pm \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}) (- b \mp \sqrt[]{b^{2} - 4 a c)}}{2 a (- b \mp \sqrt[]{b^{2} - 4 a c})} = \\ \frac{4 a c}{2 a (- b \mp \sqrt[]{b^{2} - 4 a c})} = \frac{2 c}{- b \mp \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}} . \end{matrix}

Az utolsó alak nevezője

- b

\mp | b |

-hez tart, ezért, ha

b > 0

, akkor (

x_{1}

-nek a négyzetgyök előtti felső előjellel adódó gyököt véve)

\begin{matrix} {lim}_{a \to 0}^{} x_{1} = - \frac{c}{b} . \end{matrix}

Viszont

x_{2}

esetében a nevező

- b + \sqrt[]{b^{2} - 4 a c}

, minden határon túl csökken abszolút értékben, mégpedig ha

sign a = sign c

, akkor negatív értékeken át, ha pedig

sign a = - sign c

, akkor pozitív értékeken át. Így léteznek a következő, tágabb értelemben vett határértékek:

\begin{matrix} {lim}_{a \to + 0}^{} x_{2} = - \infty, {lim}_{a \to - 0}^{} x_{2} = + \infty, \end{matrix}

ezért

{lim}_{a \to 0}^{} x_{2}

nem létezik, csupán ez állítható:

\begin{matrix} {lim}_{a \to 0}^{} | x_{2} | = + \infty . \end{matrix}

Ha pedig

b < 0

, akkor ugyanilyen meggondolással az adódik, hogy

\begin{matrix} {lim}_{a \to + 0}^{} x_{1} = - \infty, {lim}_{a \to - 0}^{} x_{1} = - \infty, {lim}_{a \to 0}^{} x_{2} = - \frac{c}{b} . \end{matrix}

Papp Zoltán