Feladat: Pontversenyen kívüli P.42 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Füredi Zoltán ,  Iván László ,  Komornik Vilmos ,  Lempert László ,  Simonyi Gyula ,  Vajnági András ,  Várady Tamás 
Füzet: 1970/március, 120 - 121. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Periodikus sorozatok, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/október: Pontversenyen kívüli P.42

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jegyezzük meg, hogy ha egy sorozatban k elem periodikusan ismétlődik, akkor a sorozat bármelyik eleméből indulva az innen számított k elem periodikusan ismétlődik a továbbiakban.
Jelöljük az A-t és B-t származtató sorozatot A0-lal, ill. B0-lal.
A0 n-elemű szelete pontosan n-1 szomszédos 0 számjegyet tartalmaz. Feltéve, hogy az A sorozat periodikus valahonnan kezdve, valamely k hosszúságú periódussal, tekintsük A0-nak valamely, a k-nál nagyobb elemszámú olyan szeletét, mely A-nak már a periodikus részében van. Ebben a szeletben legalább k darab szomszédos 0 elem van, ezért a periódus csak csupa 0-ból állhatna, tehát A is valahonnan kezdve csupa 0-ból állna. Viszont A képzési szabálya szerint benne végtelen sok 1-es lép föl. Ellentmondásra jutottunk, tehát A nem periodikus sorozat.
A B sorozatra lényegében ugyanez az okoskodás alkalmazható. Tegyük fel, hogy B-nek van egy k hosszúságú periódusa. Tekintsük B0-nak valamely, a k-nál több elemű olyan szeletét, amely már B periodikus részében van. Egy ilyen szelet első k eleme az 1, 2, 3 elemek ciklikus ismétlésével áll elő, ezért ha B periodikus volna, a periódusa is ilyen tulajdonságú lenne. B0 szeletei a képzési szabály szerint rendre 1,2; 3,1; 2,3 végződésűek, így a szeletvég-szeletkezdet határokon rendre a 2, 1, az 1, 1 és a 3, 1 elempárok fogják egymást ciklikusan váltogatni. Viszont ha k osztható 3-mal, akkor az első két elempár nem léphet fel a periodikus részben, de ha k nem osztható 3-mal, akkor is csak vagy az egyik vagy a másik, így B sem lehet periodikus.
Nyilvánvaló, hogy a B sorozatnak megvannak az alábbi tulajdonságai:
a) 1-es elemét nem követi 3-as elem,
b) 3-at nem követi 2,
c) nincs benne 4,
d) nincs benne két szomszédos 2-es,
e) nincs benne két szomszédos 3-as.
Tegyük fel, hogy C periodikus valamely k hosszúságú periódussal. Képzeljük el A-t, B-t és C-t egymás alá leírva, így az azonos sorszámú elemek egymás alá kerülnek, éppen úgy, ahogy ez C származtatásához szükséges. Tekintsük C-nek egy olyan, k hosszúságú részét, mely már a periodikus részében van, és amely fölött A-ban csupa 0 van. (Ez megtehető, elég A0 egy a k-nál nagyobb elemszámú szeletének alkalmas részét kiválasztani.) A kiválasztott rész B-ben ugyanaz, mint C-ben, ezért ha C periodikus, akkor periodikus részében szintén megtalálhatók az a)‐e) tulajdonságok.
Vizsgáljuk meg, hogyan viselkedik C az A-beli 1-es jegyek alatt (mint már mondtuk, ebből végtelen sok van). Két esetet különböztetünk meg: 1. Az A-beli 1-es egy B0-beli szeletnek nem az utolsó eleme fölé kerül; 2. Az A-beli 1-es egy B0-beli szelet utolsó eleme fölé kerül.
Az első esetben a B-beli 1, 2 elempárból C-ben a 2, 2, ill. az 1, 3 elempár adódik, ellentmondva d)-nek, ill. a)-nak; a 2, 3 elempárból 3, 3, ill. 2, 4; a 3, 1 elempárból 4, 1, ill. 3, 2, ellentmondva rendre az e), c), c), b) tulajdonságnak.
A második esetben a szelethatáron ‐ amit fölemelt vesszővel fogunk jelölni ‐ B-ben az 1, 2' 1, a 3, 1' 1 és a 2, 3' 1 elemhármasok lehetségesek. Ezekből C-ben rendre a következő elemhármasok képződnek:
1, 3' 1, ellentmondva a)-nak;
3, 2' 1, ellentmondva b)-nek;
2, 4' 1, ellentmondva c)-nek.

Ezek szerint C sem periodikus sorozat.

 

Füredi Zoltán, Vajnági András, Várady Tamás

Jutalmul 50 Ft-os könyvutalványt kapott Lempert László, Göndőcs Ferenc.