A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jegyezzük meg, hogy ha egy sorozatban elem periodikusan ismétlődik, akkor a sorozat bármelyik eleméből indulva az innen számított elem periodikusan ismétlődik a továbbiakban. Jelöljük az -t és -t származtató sorozatot -lal, ill. -lal. -elemű szelete pontosan szomszédos számjegyet tartalmaz. Feltéve, hogy az sorozat periodikus valahonnan kezdve, valamely hosszúságú periódussal, tekintsük -nak valamely, a -nál nagyobb elemszámú olyan szeletét, mely -nak már a periodikus részében van. Ebben a szeletben legalább darab szomszédos elem van, ezért a periódus csak csupa -ból állhatna, tehát is valahonnan kezdve csupa -ból állna. Viszont képzési szabálya szerint benne végtelen sok -es lép föl. Ellentmondásra jutottunk, tehát nem periodikus sorozat. A sorozatra lényegében ugyanez az okoskodás alkalmazható. Tegyük fel, hogy -nek van egy hosszúságú periódusa. Tekintsük -nak valamely, a -nál több elemű olyan szeletét, amely már periodikus részében van. Egy ilyen szelet első eleme az 1, 2, 3 elemek ciklikus ismétlésével áll elő, ezért ha periodikus volna, a periódusa is ilyen tulajdonságú lenne. szeletei a képzési szabály szerint rendre 1,2; 3,1; 2,3 végződésűek, így a szeletvég-szeletkezdet határokon rendre a 2, 1, az 1, 1 és a 3, 1 elempárok fogják egymást ciklikusan váltogatni. Viszont ha osztható -mal, akkor az első két elempár nem léphet fel a periodikus részben, de ha nem osztható -mal, akkor is csak vagy az egyik vagy a másik, így sem lehet periodikus. Nyilvánvaló, hogy a sorozatnak megvannak az alábbi tulajdonságai: a) -es elemét nem követi -as elem, b) -at nem követi , c) nincs benne , d) nincs benne két szomszédos -es, e) nincs benne két szomszédos -as. Tegyük fel, hogy periodikus valamely hosszúságú periódussal. Képzeljük el -t, -t és -t egymás alá leírva, így az azonos sorszámú elemek egymás alá kerülnek, éppen úgy, ahogy ez származtatásához szükséges. Tekintsük -nek egy olyan, hosszúságú részét, mely már a periodikus részében van, és amely fölött -ban csupa van. (Ez megtehető, elég egy a -nál nagyobb elemszámú szeletének alkalmas részét kiválasztani.) A kiválasztott rész -ben ugyanaz, mint -ben, ezért ha periodikus, akkor periodikus részében szintén megtalálhatók az a)‐e) tulajdonságok. Vizsgáljuk meg, hogyan viselkedik az -beli -es jegyek alatt (mint már mondtuk, ebből végtelen sok van). Két esetet különböztetünk meg: 1. Az -beli -es egy -beli szeletnek nem az utolsó eleme fölé kerül; 2. Az -beli -es egy -beli szelet utolsó eleme fölé kerül. Az első esetben a -beli 1, 2 elempárból -ben a 2, 2, ill. az 1, 3 elempár adódik, ellentmondva d)-nek, ill. a)-nak; a 2, 3 elempárból 3, 3, ill. 2, 4; a 3, 1 elempárból 4, 1, ill. 3, 2, ellentmondva rendre az e), c), c), b) tulajdonságnak. A második esetben a szelethatáron ‐ amit fölemelt vesszővel fogunk jelölni ‐ -ben az 1, 1, a 3, 1 és a 2, 1 elemhármasok lehetségesek. Ezekből -ben rendre a következő elemhármasok képződnek: 1, 1, ellentmondva a)-nak; 3, 1, ellentmondva b)-nek; 2, 1, ellentmondva c)-nek.
Ezek szerint sem periodikus sorozat.
Füredi Zoltán, Vajnági András, Várady Tamás |
Jutalmul 50 Ft-os könyvutalványt kapott Lempert László, Göndőcs Ferenc. |