Feladat: Pontversenyen kívüli P.41 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Füredi Zoltán ,  Földvári Csongor ,  Gál P. ,  Göndőcs Ferenc ,  Katona Judit ,  Komócsi Sándor ,  Láz József ,  Lempert László ,  Less György ,  Papp Zoltán ,  Reviczky János ,  Szabó Lóránt ,  Szokoli I. ,  Várady T. 
Füzet: 1970/március, 119 - 120. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számelrendezések, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/október: Pontversenyen kívüli P.41

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük x-szel az egy egyenesen elhelyezett számok összegét a kívánt elrendezés esetén. Könnyű látni, hogy ekkor

5x=2(1+2+...+10),
ahonnan
x=22.
 

 

Válasszunk ki az ábrán két egyenest, s jelöljük a közös körükben levő számot a-val, azt a 3 számot pedig, amelyik egyik kiválasztott egyenesen sincs rajta, p, q, r betűvel. Ekkor a két kiválasztott egyenesen álló számok összege 44-a; ehhez hozzáadva a p+q+r összeget, az összes különböző szám összegét, 55-öt kapjuk, ezért
p+q+r-a=11.(1)

Megmutatjuk, hogy a kívánt elrendezésben az 1 és 10 számok nem állhatnak sem két különböző egyenesen, sem ugyanazon az egyenesen; ebből következik, hogy válaszunk nemleges a feladat kérdésére. Az első esetben legyen a fentiekben kiválasztott két egyenes az a kettő, amelyik az 1 számot tartalmazza. Ekkor (1)-ben a=1 és p, q, r egyike, mondjuk p=10, azaz q+r=2, ami lehetetlen.
A második esetben 3 olyan egyenes van, mely 1 és 10 közül legalább az egyiket tartalmazza. Válasszuk ki most a két másik egyenest; ekkor p, q, r között van 1 is, 10 is, például p=1, q=10. Behelyettesítve ezt (1)-be:
1+10+r-a=11,
tehát r=a, ami ismét lehetetlen, tehát a követelményeknek megfelelő elrendezés valóban nem létezik.
 

Papp Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t. )