Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.36	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beck József , Göndőcs Ferenc , Papp Zoltán
Füzet:	1970/február, 71 - 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Magasságpont, Egyenesek egyenlete, Osztópontok koordinátái, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: Pontversenyen kívüli P.36

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott háromszög $A B C$ , a magasságpontján átmenő két merőleges egyenes $e$ és $f$ , a $B C$ , $C A$ , $A B$ egyenesekkel való metszéspontjaik, amennyiben létrejönnek, $E_{1}$ , $F_{1}$ ; $E_{2}$ , $F_{2}$ ; $E_{3}$ , $F_{3}$ , a köztük levő szakaszok felezőpontjai $G_{1}$ $G_{2}$ . $G_{3}$ .

A feladat állítása csak arra az esetre mond ki valamit, ha ezek a pontok mind létrejönnek és

G_{1}

G_{2}

G_{3}

különböző, így csak ezekkel az esetekkel foglalkozunk. Kizárjuk tehát a derékszögű háromszög esetét és azokat az eseteket, amelyekben

e

vagy

f

valamelyik oldallal párhuzamos.
Válasszuk

e

-t és

f

-et egy koordinátarendszer abszcissza-, ill. ordinátatengelyének. Az oldalegyenesek egyenlete legyen rendre

y = m_{i} x + b_{i}

i = 1,

2

3

. Ekkor az

F_{i}

pontok az ordinátatengelyen levő metszéspontok, koordinátáik

(0, b_{i})

E_{i}

koordinátái pedig

(- \frac{b_{i}}{m_{i}}, 0)

, mert

m_{i} \neq 0

, mert a tengelyek nem párhuzamosak háromszögoldallal). A felezőpontok koordinátái

G_{i} (- \frac{b_{i}}{2 m_{i}}, \frac{b_{i}}{2})

.
Fejezzük most ki azt, hogy az origó a háromszög magasságpontja. Az

y = m_{1} x + b_{1}

és

y = m_{2} x + b_{2}

egyenesek

C

metszéspontjának koordinátái

\begin{matrix} (\frac{b_{1} - b_{2}}{m_{2} - m_{1}}, \frac{m_{2} b_{1} - m_{1} b_{2}}{m_{2} - m_{1}}), \end{matrix}

(a háromszög oldalegyeneseinek iránytangensei nem lehetnek egyenlők,

m_{2} - m_{1} \neq 0

C

helyvektora merőleges az

m_{3}

iránytangensű harmadik oldalra, tehát

\begin{matrix} m_{3} \cdot \frac{m_{2} b_{1} - m_{1} b_{2}}{b_{1} - b_{2}} = - 1, m_{3} = \frac{b_{2} - b_{1}}{m_{2} b_{1} - m_{1} b_{2}} . \end{matrix}

(Itt sem

b_{1} \neq b_{2}

, mert akkor az orditánatengely a

C

‐ átmenő magasságvonal volna, s így az abszcissza-tengely háromszögoldallal volna párhuzamos, sem

m_{2} b_{1} - m_{1} b_{2} \neq 0

, mert akkor meg az abszcisszatengely volna a

C

-n átmenő magasságvonal.)
A feladat állítása ekvivalens azzal, hogy a

G_{1} G_{2}

és

G_{2} G_{3}

egyenesek iránytangense:

\begin{matrix} \frac{b_{2} - b_{1}}{\frac{b_{2}}{m_{2}} - \frac{b_{1}}{m_{1}}} és \frac{b_{3} - b_{2}}{\frac{b_{3}}{m_{3}} - \frac{b_{2}}{m_{2}}} \end{matrix}

megegyezik. Az előbbit a fönt nyert összefüggés alapján így alakíthatjuk át:

\begin{matrix} \frac{b_{2} - b_{1}}{\frac{b_{2}}{m_{2}} - \frac{b_{1}}{m_{1}}} = m_{1} m_{2} \cdot \frac{b_{2} - b_{1}}{b_{2} m_{1} - b_{1} m_{2}} = - m_{1} m_{2} m_{3} . \end{matrix}

Ebből az utóbbit az

1

2

3

indexek helyett rendre

2

3

1

-et írva kapjuk, akkor azonban a jobb oldalon csak a tényezők sorrendje cserélődik meg, tehát a két iránytangens megegyezik. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Papp Zoltán (debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t. )

Megjegyzés. A feladat állítása az irodalomban Droz-Farny tétele néven ismeretes.