Feladat: Pontversenyen kívüli P.34 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beck József ,  Gál Péter ,  Göndőcs Ferenc ,  Kirchner Imre ,  Komócsi Sándor ,  Martoni Viktor ,  Pál Jenő ,  Reviczky János ,  Simon Júlia ,  Szabó György ,  Waszlavik László 
Füzet: 1970/február, 66 - 67. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egész számok összege, Négyzetszámok összege, Köbszámok összege, Lottó, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Klasszikus valószínűség, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/május: Pontversenyen kívüli P.34

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az összes lehetséges lottóhúzások az 1,2,...,90 számok 5-öd osztályú (ismétlés nélküli) kombinációi, számuk

N=(905)=43949268.
A feladat feltételeit kielégítő húzások növekvően rendezett lottószámai közül az első hármat e, m, h-val jelölve számoljuk meg azoknak az előírt tulajdonságú húzásoknak a számát, amelyekben h egy adott érték. Mivel e<m, h=e+m, és h után még két lottószám következik, így 3≦h≦88. A h utáni két szám a h-nál nagyobb lottószámok közül (90-h2)-féleképpen választható, és minden ilyen párhoz e a h-nál kisebb számok közül úgy, hogy m=h-e≧e+1 legyen, azaz 2e≦h-1. Így e lehetséges értékeinek száma [h-12], és az adott h-t tartalmazó, a feltételeket kielégítő húzásoké
Kh=[h-12]⋅(90-h2),
az összes megfelelő húzásoké pedig ezek K összege a 3≦h≦88 értékekre.
[h-12] értéke j, ha h=2j+1 és ha h=2j+2(1≦j≦43), és az egy j értékhez tartozó tagpár összege
j{(89-2j2)+(88-2j2)}=j(88-2j)(89-2j+87-2j)2==4j(44-j)2=4(j3-88j2+1936j).


Ezt összegezve j=1,2,...,43-ra és felhasználva, hogy az első n természetes szám, négyzetszám, ill. köbszám összege rendre n(n+1)/2,n(n+1)(2n+1)/6, ill. n2(n+1)2/4, kapjuk, hogy
K=44⋅43⋅(44⋅43-88⋅2⋅29+2⋅442)=1248720.
Így pedig a kérdéses valószínűség
p=KN=124872043949268≈135=0,028.
Feladatunk második felére áttérve határozzuk meg először a
K'h=h-12(90-h2)
számok között a legnagyobbat.
K'h+1-K'h=h2⋅(89-h)(88-h)2-h-12⋅(90-h)(89-h)2==89-h4(88h-h2-90h+90+h2-h)=34(89-h)(30-h).
Emiatt K'h+1>K'h, ha h<30, K'h+1<K'h, ha h>30, tehát a K'h számok között K'30 és K'31 a legnagyobb, és K'30=K'31. Láttuk, hogy ha h páratlan, Kh=K'h, ha pedig h páros, Kh<K'h, tehát a Kh számok között K31 a legnagyobb. A vizsgált húzások között tehát 31 a harmadik szám leggyakoribb értéke.
 

Martoni Viktor
 

Megjegyzések. 1. A magyar lottójáték 1969 végéig tartott 672 húzásában 16-szor lépett fel a vizsgált egyenlőség. A 16/672=1/42≈0,024 hányados elég jó megegyezésben van számításunk eredményével.
Az említett 16 eset viszont még nagyon kevés ahhoz, hogy a harmadik szám gyakoriságára valami törvényszerűséget mutasson. Az előfordult harmadik számok, növekedően rendezve: 7, 12, 13, 15, 15, 15 (két esetben 7+8 alakban), 26, 32, 33, 36, 41, 45, 64, 65, 67, 73. A statisztikában használt medián (aminél ugyanannyi adat nagyobb, mint amennyi kisebb) 32 és 33 között van.
2. Azt az esetet vizsgáltuk, amelyben a k3=h-(e+m) különbség 0. A 672 húzás között 354 esetben volt k3 pozitív, 302 esetben negatív, legnagyobb előfordult értéke 60, a legkisebb -62. k3 néhány 0 körüli értékének előfordulási száma:
 

k3=+1,  +2,  +3,  +4,  +5,  +6,  +7,  +8,  +9,  +10,  14,  22,  18,  13,  16,  18,  11,18,  13,  13;k3=-1,  -2,  -3,  -4,  -5,  -6,  -7,  -8,  -9,  -10,16,18,  16,  18,  17,  10,  11,  11,  10,  15.