Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.33	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beck József , Galántai Aurél , Göndőcs Ferenc , Horváth Miklós , Iván László , Komjáth Péter , Komócsi Sándor , Lengyel János , Martoni Viktor , Pál Jenő , Simon Júlia , Szabó György , Török István , Waszlavik László
Füzet:	1970/január, 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Függvény határértéke, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: Pontversenyen kívüli P.33

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a vizsgált határérték létezik és az értéke 1. Tetszőleges $z$ számra érvényes ugyanis a

\begin{matrix} z - 1 < [z] ≦ z \end{matrix}

egyenlőtlenség, tehát

\begin{matrix} \frac{1}{x} - 1 < [\frac{1}{x}] ≦ \frac{1}{x} . \end{matrix}

Ebből pozitív

x

mellett az

\begin{matrix} 1 - x < x [\frac{1}{x}] ≦ 1 \end{matrix}

egyenlőtlenséget, negatív

x

mellett pedig az

\begin{matrix} 1 - x > x [\frac{1}{x}] ≧ 1 \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk. Mindkét esetben

\begin{matrix} | x [\frac{1}{x}] - 1 | < | x |, \end{matrix}

tehát a függvény értékének a vélt határértéktől való eltérése kisebb

ε

-nál, ha

| x | < ε

Pál Jenő (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., III. o. t.)