A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tükrözzük az négyszöget a pontra, kapjuk az négyszöget (1. ábra), ahol azonos -vel, azonos -vel.
1. ábra Állítsuk elő az új négyszögben az , , , és , , , pontokat ugyanúgy, mint az eredeti négyszög megfelelő pontjait. Az új négyszöget -re tükrözve kapjuk az négyszöget ( a -vel, az -fel azonos), és ebben hasonlóan állítsuk elő a további 4‐4 pontot, végül ezt a négyszöget -re tükrözve az négyszöget kapjuk ( a -vel, a -vel azonos). Mivel -ben az eredeti négyszögnek mind a négy szöge fellép, az egyenes azonos -val, a tükrözések miatt , tehát és is azonos, és utolsó négyszögünk az eredetiből -re való tükrözéssel is előállítható. A négyszög területe egyenlő -gyel, hiszen e négyszögnek az előbbi négy négyszögbe eső darabjai rendre egybevágóak az eredeti négyszög -en kívüli részének rendre egy-egy darabjával. Az négyszög oldalai rendre párhuzamosak az eredeti négyszög megfelelő átlóival, ez tehát paralelogramma, és területe az eredeti négyszög területének kétszerese: Jelöljük a , , , egyenesnek az , , , oldalon levő pontját rendre , , , -lal, az , átlók metszéspontját -rel, és legyen | | (1) |
| | (2) | Ekkor , . Legyen még és metszéspontja . Az , háromszögek hasonlóak, emiatt
Hasonló módon kapjuk, hogy
2. ábra Az -en át -vel párhuzamosan húzott egyenes messe -t -ben, és legyen (2. ábra) | | Az és hasonló háromszögek alapján , hasonló módon kapjuk, hogy , ezek alapján Az és idomok területének aránya tehát: Hasonló módon kapjuk, hogy | | Jelöljük e négy háromszög területének összegét -val akkor | | (4) | Fenti összefüggéseink alapján , így Azt kell tehát megmutatnunk, hogy (3) és (4) alapján
Avégett, hogy ezt a kifejezést könnyebben tudjuk kezelni, vezessük be új változóknak az egyes nevezőkben álló kifejezéseket. Mivel , ezek értéke:
Új változóinkkal a régieket kifejezve kapjuk, hogy
Ezek alapján
Közben többször használtuk, hogy , ami (6)-ból közvetlenül látható. (5) alapján azt kell belátnunk, hogy A bal oldal könnyen belátható, hiszen , , , pozitívak, így pozitív a szám is, és egy pozitív számnak és reciprokának az összege valóban legalább . Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a mondott hányados -gyel egyenlő; ez a helyzet pl. ha az eredeti négyszög négyzet. A jobb oldali egyenlőtlenség pedig abból fog következni, hogy megmutatjuk, szám és között van. -hez tetszőleges közeli értéket kapunk pl., ha a négyszög egyik oldala elég kicsi a többihez képest. Mivel , , (7) alapján kapjuk, hogy az értékek a
egyenlőtlenségekkel meghatározott tartományban vannak, melyet az , síkon a 3. ábra mutat be.
3. ábra Azt kell tehát megmutatnunk, hogy ezen a tartományon Mivel és szerepét felcserélve a kifejezés értéke saját reciprokába megy át, és a vizsgált tartomány egy hasonló típusú tartományba, elegendő például a jobb oldalt bebizonyítanunk. Rögzített értékek mellett a kifejezés értéke annál nagyobb, minél messzebb van értéke -tő1, a kifejezés legnagyobb értékét tehát a tartomány határán kapjuk. Például az egyenesen a kifejezés értéke ami -ben monoton változik. így szélső értékeit a vizsgált szakasz végpontjaiban veszi fel: , illetve mellett, ekkora kifejezés értélre , illetve Hasonló módon kapjuk, hogy a kifejezés értéke a többi oldalszakaszon is monoton változik, és a másik két csúcsban is , illetve az értéke, állításunkat ezzel bizonyítottuk.
|