Feladat: Pontversenyen kívüli P.31 Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beck József ,  Göndőcs Ferenc ,  Somorjai Gábor ,  Vajnági András 
Füzet: 1969/november, 155 - 156. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Inverzió, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/április: Pontversenyen kívüli P.31

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Feltehetjük, hogy P és Q különböző pontok, hiszen ha azonosak, az állítás nyilvánvaló. Legyen s a P, Q pontokon átmenő, tetszőleges kör, és jelöljük g-vel alkotott metszéspontjait R-rel, T-vel. (Mivel g elválasztja a P, Q pontokat, R és T mindig létrejön.) Az s kört g-re invertálva P és Q pontja felcserélődik, az R, T pontok helyükön maradnak, így s is önmagába megy át. Az OR, OT egyeneseken s-nek csak egy-egy pontja lehet (O a g kör középpontja), így ezek az egyenesek érintik s-t, s és g tehát merőlegesen metszik egymást.

 

 

Hasonló állítás igaz, ha g egyenes (a továbbiakban a megfelelő egyenest ‐ az egyértelműség kedvéért ‐ g*-gal jelöltük), hiszen ha s átmegy a g*-ra szimmetrikus P, Q pontokon, akkor középpontja g*-on van, vagyis g* és s merőlegesek.
A P, Q pontokon átmenő tetszőleges s kör tehát merőleges g-re. (Ezek közé a körök közé sorolhatjuk a PQ egyenest is, ez nyilvánvalóan merőleges g-re.)
Vigye át a C középpontú k körre vonatkozó inverzió s-et s1-be, az R, T pontokat R1, T1-be. Mivel az inverzió szögtartó, s1 is merőleges lesz g1-re, így O1R1, O1T1 érintik s1-et (O1 a g1  középpontja). (Hasonló állítás igaz a g* egyeneshez tartozó R*, T* metszéspontok R1*, T1* inverzére is: a g1* kör is merőlegesen metszi s1-et, tehát O1*R1*, O1*T1* is érinti s1-et, ahol O1* a g1* kör középpontját jelöli.) Az s1 kört g1-re invertálva, önmagába megy át, hiszen R1, T1 pontjai helyükön maradnak, és az inverz képnek is merőlegesen kell metszenie g1-et.
Állításunk tetszőleges, a P1, Q1 pontokon átmenő s1 körre igaz, hiszen ha egy tetszőlegesen felvett s1 körből indulunk ki, és ezt invertáljuk k-ra, a kapott s kör ‐ vagy egyenes ‐ átmegy a P, Q pontokon. Ezek szerint a P1, Q1 pontokon átmenő köröket g1-re invertálva, azok mindegyike önmagába megy át. Ez az inverzió a körök egyik közös pontját, a P1-et csak olyan pontba viheti, amelyik mindegyik körön rajta van, tehát P1 képe Q1, amint azt bizonyítani akartuk. (P1 képe nem lehet önmaga, hiszen P1 nincs rajta g1-en, mint ahogy P sincs rajta g-n.)
Bizonyításunknak ez az utolsó része változtatás nélkül mondható el a g1* körre is, feladatunk állítását tehát bebizonyítottuk.
 

II. Legyen h a P, Q, C pontok által meghatározott kör vagy egyenes (tehát h a PQ egyenes, ha C rajta van PQ-n, és h a P, Q, C pontokon átmenő kör, ha ezek nincsenek egy egyenesen). Mint a P, Q pontokon átmenő körök mindegyike, h is merőlegesen metszi g-t (és g*-ot is). Emiatt h-nak k-ra vonatkozó h1 inverze is merőlegesen metszi g1-et (és g1*-ot is). Az O1 (és O1*) pont tehát rajta van h1-en. Másrészt h-t g-re invertálva (illetve g*-ra tükrözve) önmagába megy át, a C pont g-re vonatkozó C1 inverze (illetve g*-ra vonatkozó C1* tükörképe) szintén rajta van h-n, és a k-ra vonatkozó invertálás épp ezeket viszi az O1, O1* pontokba, tehát a P.12. feladat állítását is bebizonyítottuk.
 

Vajnági András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)