Feladat: Pontversenyen kívüli P.25 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Göndőcs Ferenc ,  Martoni Viktor ,  Somorjai Gábor ,  Vajnági András 
Füzet: 1969/október, 74 - 75. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szorzat, hatvány számjegyei, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/március: Pontversenyen kívüli P.25

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az n! szám n hatványa, ezért először megvizsgáljuk, mitől függ egy természetes szám hatványainak az utolsó jegye. Mivel egy szorzat utolsó jegyét a tényezők utolsó jegyei egyértelműen meghatározzák, az nk hatvány utolsó jegye csak n utolsó jegyétől és a k kitevőtől függ. Az alábbi táblázatban feltüntettük az egyes számjegyek hatványainak utolsó jegyét

|n=1 1234567890|k=11234567890 @@21496569410 @@31874563290 @@41616561610 @@51234567890   

Látható, hogy minden szám ötödik hatványa ugyanarra a jegyre végződik, mint az eredeti szám. Így az ezt követő 6.,7.,8.,9... hatvány ugyanarra a jegyre végződik, mint a 2.,3.,4.,5.,... hatvány végződött, ha tehát a kitevőt 4-gyel növeljük, a hatvány utolsó jegye változatlan marad.
Az nk hatvány utolsó jegye tehát csak attól függ, hogy mennyi n utolsó jegye, és hogy k-t 4-gyel osztva mennyi maradékot kapunk.
Az n! sorozat képezésénél a kitevőben mindig a megelőző tag lép fel, azt kell tehát megállapítanunk, hogy ez 4-gyel osztva mennyi maradékot ad. A fentiekhez hasonlóan kapjuk, hogy egy hatvány maradéka szempontjából csak azt kell tudnunk, hogy az alap maradéka mennyi. Így ha az alap 4-gyel osztható, vagy páros az alap, és a kitevő 1-nél nagyobb, akkor a hatvány is osztható 4-gyel; ha az alap 4-gyel osztva 1 maradékot ad, minden hatványa is 1 maradékot ad a 4-gyel való osztásban; és végül ha az alap maradéka 3, akkor a hatvány maradéka 3 vagy 1 aszerint, hogy a kitevő páratlan-e vagy páros. A k! tehát osztható 4-gyel, ha k páros és k>2. Ha k páratlan és k>1, akkor figyelembe kell vennünk, hogy a kitevő épp (k-1)!, tehát páros, így k!-t 4-gyel osztva 1 maradékot kapunk, és ez 1!=1-re is igaz.
Visszatérve n! utolsó jegyének vizsgálatára, ismét azt kell figyelembe vennünk, hogy n! az n alap olyan hatványa, melyben a kitevő (n-1)!. Így ha n páros, akkor (n-1) páratlan, (n-1)!-t 4-gyel osztva 1-et kapunk maradékul, tehát n! ugyanarra a jegyre végződik, mint n. Ha n páratlan, akkor (n-1) páros, és (n-1)! osztható 4-gyel, ha n-1>2. Táblázatunkból látjuk, hogy a páratlan számok negyedik hatványa általában 1-re végződik, kivéve az 5-re végződő számokat, melyek minden hatványa 5-re végződik.
Fenti eredményünk úgy is megfogalmazható, hogy ha n utolsó jegye 1,3,7,9, akkor n! utolsó jegye 1, a többi esetben pedig n! utolsó jegye megegyezik n utolsó jegyével. Kivételt képez az n=3 érték, melyre 3!=9.
Vajnági András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 

Megoldották még: Göndöcs Ferenc:, Martoni Viktor, Somorjai Gábor.
 

Jutalmul 50 Ft-os könyvutalványt kapott Beck József, Vajnági András.