A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az szám hatványa, ezért először megvizsgáljuk, mitől függ egy természetes szám hatványainak az utolsó jegye. Mivel egy szorzat utolsó jegyét a tényezők utolsó jegyei egyértelműen meghatározzák, az hatvány utolsó jegye csak utolsó jegyétől és a kitevőtől függ. Az alábbi táblázatban feltüntettük az egyes számjegyek hatványainak utolsó jegyét
Látható, hogy minden szám ötödik hatványa ugyanarra a jegyre végződik, mint az eredeti szám. Így az ezt követő 6.,7.,8.,9... hatvány ugyanarra a jegyre végződik, mint a 2.,3.,4.,5.,... hatvány végződött, ha tehát a kitevőt 4-gyel növeljük, a hatvány utolsó jegye változatlan marad. Az nk hatvány utolsó jegye tehát csak attól függ, hogy mennyi n utolsó jegye, és hogy k-t 4-gyel osztva mennyi maradékot kapunk. Az n! sorozat képezésénél a kitevőben mindig a megelőző tag lép fel, azt kell tehát megállapítanunk, hogy ez 4-gyel osztva mennyi maradékot ad. A fentiekhez hasonlóan kapjuk, hogy egy hatvány maradéka szempontjából csak azt kell tudnunk, hogy az alap maradéka mennyi. Így ha az alap 4-gyel osztható, vagy páros az alap, és a kitevő 1-nél nagyobb, akkor a hatvány is osztható 4-gyel; ha az alap 4-gyel osztva 1 maradékot ad, minden hatványa is 1 maradékot ad a 4-gyel való osztásban; és végül ha az alap maradéka 3, akkor a hatvány maradéka 3 vagy 1 aszerint, hogy a kitevő páratlan-e vagy páros. A k! tehát osztható 4-gyel, ha k páros és k>2. Ha k páratlan és k>1, akkor figyelembe kell vennünk, hogy a kitevő épp (k-1)!, tehát páros, így k!-t 4-gyel osztva 1 maradékot kapunk, és ez 1!=1-re is igaz. Visszatérve n! utolsó jegyének vizsgálatára, ismét azt kell figyelembe vennünk, hogy n! az n alap olyan hatványa, melyben a kitevő (n-1)!. Így ha n páros, akkor (n-1) páratlan, (n-1)!-t 4-gyel osztva 1-et kapunk maradékul, tehát n! ugyanarra a jegyre végződik, mint n. Ha n páratlan, akkor (n-1) páros, és (n-1)! osztható 4-gyel, ha n-1>2. Táblázatunkból látjuk, hogy a páratlan számok negyedik hatványa általában 1-re végződik, kivéve az 5-re végződő számokat, melyek minden hatványa 5-re végződik. Fenti eredményünk úgy is megfogalmazható, hogy ha n utolsó jegye 1,3,7,9, akkor n! utolsó jegye 1, a többi esetben pedig n! utolsó jegye megegyezik n utolsó jegyével. Kivételt képez az n=3 érték, melyre 3!=9.
Vajnági András (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) | Megoldották még: Göndöcs Ferenc:, Martoni Viktor, Somorjai Gábor. Jutalmul 50 Ft-os könyvutalványt kapott Beck József, Vajnági András. |