Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.23	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Z. , Barabás E. , Beck J. , Füredi Z. , Martoni V. , Somorjai G. , Szabó György , Váli L. , Váradi József
Füzet:	1969/november, 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/február: Pontversenyen kívüli P.23

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $N$ szám tízes számrendszerbeni alakját kettévágva a szétválasztás előtti jegysorozattal írt szám legyen $P$ , az utána álló jegysorozattal írt szám $Q$ , és a szétvágás után álló jegyek száma $q$ . Ekkor $N$ kétféle felírása:

\begin{matrix} P \cdot 10^{q} + Q = 2 \cdot P \cdot Q, \end{matrix}

vagy átalakítva

\begin{matrix} (2 P - 1) Q = P \cdot 10^{q} . \end{matrix}

(1)

Eszerint

2 P - 1 > 1

, mert

Q < 10^{q}

és osztója a jobb oldalnak; mivel pedig

P

-hez relatív prím, így csak

10^{q}

páratlan osztója lehet, ami azt jelenti, hogy

\begin{matrix} 2 P - 1 = 5^{r}, P = \frac{5^{r} + 1}{2}, ahol 1 ≦ r ≦ q . \end{matrix}

Ekkor (1)-ből

\begin{matrix} 5^{r} \cdot Q = 2^{q - 1} \cdot 5^{q} (5^{r} + 1), Q = 2^{q - 1} \cdot 5^{q - r} (5^{r} + 1) . \end{matrix}

Itt

Q

legfeljebb

q

jeggyel írható, mert (1)-ből

\begin{matrix} Q = \frac{P}{2 P - 1} \cdot 10^{q} = \frac{1}{2 - 1 / P} \cdot 10^{q} < 10^{q}, ha P > 1. \end{matrix}

A keresett

N

szám

\begin{matrix} N = 2 \cdot P \cdot Q = 2^{q - 1} \cdot 5^{q - r} \cdot {(5^{r} + 1)}^{2} \\ [= 2^{q} \cdot 5^{q - r} \cdot \frac{5^{r} + 1}{2} \cdot 5^{r} + 2^{q - 1} \cdot 5^{q - r} (5^{r} + 1) = 10^{q} \cdot P + Q], \end{matrix}

és ez akkor és csak akkor négyzetszám, ha

q - 1

és

q - r

páros, azaz ha

q

is,

r

is páratlan.
Ha

r < q

, akkor

Q

végén

q - r

számú

0

számjegy áll. Könnyen látható, hogy ezek elhagyásával, a szétvágást ugyanott alkalmazva, a keletkező

N'

szám is megfelel a feltételeknek, igy elég az

r = q

esethez tartozó megoldásokat tekinteni. Ezek

q = 1

, 2, 3, 4 esetén rendre

\begin{matrix} N = 3 | 6 (= 6^{2}), 13 | 52, 63 | 504 (= 252^{2}), 313 | 5008. \end{matrix}

Váradi József (Budapest, Ságvári E. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Szabó György (Nyíregyháza, Vasvári P. Gimn., III. o. t.)