Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.22	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beck József , Füredi Zoltán , Győry Jenő , Váradi József
Füzet:	1969/október, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Műveletek polinomokkal, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/február: Pontversenyen kívüli P.22

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. (1)-ben $n = 1$ -re egyenlőség áll fenn ,,<'' helyett. $n > 1$ -re vizsgáljuk kissé általánosabban a

\begin{matrix} P_{n} (x) = \prod_{i = 1}^{n} (i + x) \end{matrix}

polinomot. Legyen

x

hatványai szerint rendezett alakja

\begin{matrix} P_{n} (x) = n! + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ... + c_{n - 1} x^{n - 1} + x^{n} . \end{matrix}

0 < x < 1

, akkor nyilván

\begin{matrix} P_{n} (x) < n! + (c_{1} + c_{2} + ... + c_{n - 1} + 1) x . \end{matrix}

A zárójelben levő összeget meghatározhatjuk

P_{n} (1)

segítségével, ami

(n + 1)!

\begin{matrix} c_{1} + c_{2} + ... + c_{n - 1} + 1 = (n + 1)! - n! = n \cdot n! . \end{matrix}

Így ha

n \geq 2

és

0 < x < 1

, akkor

\begin{matrix} P_{n} (x) < + n! + n! \cdot n x, \end{matrix}

(2)

és

x

helyett

1 / (n \cdot n!)

-t írva kapjuk (1)-et.

II. megoldás.

P_{n} (x) / n!

értékét fogjuk becsülni a

0 < x < 1

számközben úgy, hogy az egyes tényezőket becsüljük:

\begin{matrix} \frac{P n (x)}{n!} = \prod_{i = 1}^{n} (1 + \frac{x}{i}), \end{matrix}

és ha

i \geq 2

\begin{matrix} 1 + \frac{x}{i} = 1 + \frac{x}{1 + (i - 1)} < 1 + \frac{x}{1 + (i - 1) x} = \frac{1 + i x}{1 + (i - 1) x} . \end{matrix}

Így, ha

n \geq 2

és

0 < x < 1

, akkor

\begin{matrix} \frac{P_{n} (x)}{n!} < (1 + x) \frac{(1 + 2 x) (1 + 3 x) ... (1 + n x)}{(1 + x) (1 + 2 x) ... [1 + (n - 1) x]} = 1 + n x . \end{matrix}

Ez a (2) egyenlőtlenség átrendezett alakja, amiből, mint láttuk, következik (1).

Beck József