Feladat: Pontversenyen kívüli P.20 Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beck József ,  Göndőcs Ferenc ,  Simon Júlia ,  Török István 
Füzet: 1969/december, 215 - 216. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Hossz, kerület, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/január: Pontversenyen kívüli P.20

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Csak olyan távvezeték-rendszerekkel foglalkozunk, melyek véges sok egyenes szakaszból állnak (ha a távvezetéket a szokott módon oszlopok közt kifeszített huzalokkal készítjük el, akkor ez a feltevés eleve teljesül).

 

 

Az említett városok (mint pontok) helyzetét térkép alapján vettük fel az ábrán, és nevük első betűjével jelöltük. Legyen R egy tetszőleges, a feladat követelményeinek eleget tevőrendszer. R tartalmaz egy E-t Sz-szel összekötő L véges sok egyenes szakaszból álló útvonalat. E szakaszok mindegyikén meghatározhatjuk a P-hez legközelebb levő pontot: ez P-nek az illető szakaszt tartalmazó egyenesen levő vetülete, ha ez a vetület az illető szakaszon van, különben a szakasz két végpontja közül a P-hez közelebbi. Az így kapott pontok közül a P-hez legközelebbit jelöljük A-val: ez egyben az L útvonal P-hez legközelebbi pontja. Hasonló módon legyen B az L útvonal D-hez legközelebbi pontja.
Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy E-ből L-en Sz felé haladva előbb az A vagy a B pontba jutunk-e el. Az első esetben L-en az említett pontok sorrendje: E, A, B, Sz, az ilyen útvonalakat első típusúaknak nevezzük. Jelöljük R1-gyel az EA, PA, AB, BSz, BD szakaszokból álló rendszert. Megmutatjuk, hogy R1-ben a vezetékek együttes hossza nem nagyobb, mint R-ben. R ugyanis tartalmazza L-t, ennek a hossza legalább akkora, mint az EABSz törött vonalé. Továbbá R tartalmaz egy P-ből E-be futó útvonalat, ennek az L-hez nem tartozó darabja nem lehet PA-nál rövidebb. Hasonló módon a D-ből Sz-be futó útvonal L-hez nem tartozó darabja nem lehet DB-nél rövidebb. Így R1 minden részéhez találtunk R-ben nála nem rövidebb ‐ és egymást még részben sem tartalmazó ‐ útdarabokat, állításunkat tehát bebizonyítottuk.
Forgassuk el az EAP törött vonalat P körül pozitív irányban 60∘-kal, kapjuk az E', A' pontokat. Mivel PAA' egyenlő oldalú háromszög,
EA+AP=E'A'+A'P=E'A'+A'A.
Hasonló módon vigye a D körüli, pozitív irányú 60∘-os forgatás a B, Sz pontokat B'-be és Sz'-be, ekkor
SzB+BD=Sz'B'+B'D=Sz'B'+B'B.
R1 darabjainak összhossza tehát egyenlő az E'A'ABB'Sz' törött vonal hosszával, ami pedig legalább akkora, mint az (A és B helyzetétől független) E'Sz' szakasz hossza.
Mivel az E'Sz' szakasz metszi az EE'P egyenlő oldalú háromszög köré írható kör rövidebb EP ívét az A* pontban, és az SzSz'D egyenlő oldalú háromszög köré írható kör rövidebb SzD ívét a B* pontban, van olyan első típusú R1* távvezeték-rendszer, melynek összhossza egyenlő az E'Sz' szakasz hosszával. Ugyanis PA*E'∢=60∘ s így A* elforgatottja az E'A* szakaszra, B*-é hasonlóan a B*Sz' szakaszra kerül. Az A*, B* pontok által meghatározott R1* távvezeték-rendszer tehát minimális az első típusú rendszerek körében.
Hasonló módon határozhatjuk meg azon rendszerek körében a minimális úthálózatot, melyeknél L-en E-ből indulva előbb jutunk B-be, és aztán A-ba. Jelöljük ezt a minimális rendszert R2*-gal, R2* darabjának összhossza egyenlő a P'D' szakasz hosszával, ahol P'-t a P-ből kapjuk Sz körüli, D'-t pedig D-ből kapjuk E körüli pozitív irányú 60∘-os forgatással.
A szerkesztés és a térkép léptéke alapján meghatározzuk az E'Sz', P'D' szakaszok valódi hosszát, előbbire 504km-t, utóbbira 501km-t kapunk, tehát R2* a minimális rendszer. Megjegyezzük, hogy az eltérés igen kicsi a két távolság között, nagyságrendje megegyezik a (nem pontszerű) városok méretével (3-6km) és a szerkesztésünkből származó hibával.
 

Göndőcs Ferenc