Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.19	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beck József , Martoni Viktor
Füzet:	1969/október, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Forgatva nyújtás, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: Pontversenyen kívüli P.19

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $P A$ egyeneshez nem tartozik háromszög (az $A$ pontra zsugorodik össze), az összes többi, $P$ -n átmenő egyeneshez tartozó $A B C$ háromszögek hasonlók és egyező körüljárásúak, hiszen a kerületi szögek, ill. a húrnégyszögek tétele alapján látható, hogy az egyenes minden helyzetében a $B$ pont körüli ugyanakkora és ugyanolyan irányú forgással vihető át a $B A$ oldal $B C$ -be (1. ábra).

1. ábra

Ugyanez érvényes a

C A

-t

C B

-be vivő forgatásra is. Eszerint az egyenes két lehetséges helyzetét,

B_{1} C_{1}

-et és

B_{2} C_{2}

-t nézve, az

A B_{1} C_{1}

háromszöget egy

A

középpontú forgatva nyújtással vihetjük át

A B_{2} C_{2}

-be.
Legyen

R_{1}

a sík tetszés szerinti pontja, és vigye át az említett forgatva nyújtás

R_{1}

-et

R_{2}

-be. Ekkor az az

A

középpontú forgatva nyújtás, amely a

C_{1}

pontot viszi át

R_{1}

-be, a

C_{2}

-t

R_{2}

-be viszi át, és ez a forgatva nyújtás nem függ a

B_{2} C_{2}

egyenes helyzetétől. Ha tehát

C_{2}

bejárja a második kört,

R_{2}

mértani helye ennek a körnek forgatva nyújtásából származó képe lesz, tehát egy

A

-n átmenő kör. A

C_{2}

pont a második kör tetszőleges,

A

-tól különböző pontja lehet, így az

R_{2}

pont mértani helye a második kör forgatva nyújtásából származó teljes körvonal, kivéve az

A

pontot.
Tekintve, hogy az

R_{1}

pont tetszőleges volt, felvehetjük az

A B_{1} C_{1}

háromszög súlypontjának, magasságpontjának, körülírt vagy beírt köre középpontjának: a fenti módon kapott

R_{2}

pont rendre az

A B_{2} C_{2}

háromszög megfelelő pontja lesz, és egy-egy ‐ az

A

-n átmenő ‐ kört jár be (2. ábra).

2. ábra

Beck József, Martoni Viktor