Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.18	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beck József , Maróti Péter , Martoni Viktor , Reviczky János , Somorjai Gábor
Füzet:	1969/május, 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Egész együtthatós polinomok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: Pontversenyen kívüli P.18

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $x_{0}$ rögzített egész szám, keresünk a $p (x_{0})$ szám közelébe eső négyzetszámokat. Ennek érdekében olyan, egész együtthatós polinomot keresünk, melynek négyzete közel van $p (x)$ -hez. Olyat könnyen találunk, hogy a négyzet első két együtthatója megegyezzék $p (x)$ első két együtthatójával:

\begin{matrix} q_{c} (x) = {(2 x^{2} - 3 x + c)}^{2} = 4 x^{4} - 12 x^{3} + (9 + 4 c) x^{2} - 6 c x + c^{2}, \end{matrix}

és ezzel a különbség:

\begin{matrix} δ_{c} (x) = p (x) - q_{c} (x) = 4 (2 - c) x^{2} + 6 (c - 1) x - (4 + c^{2}) . \end{matrix}

c = 2

együtthatóhoz tartozó

δ_{2} (x)

eltérés lineáris, a vele szomszédos egész

c

-értékekhez tartozó eltérések másodfokú polinomok: 2 c=1-hez:

δ_{1}

(x)= 4

x^{2}

-15,
c=3-hoz:

δ_{3}

(x)=-4

x^{2}

+12x-23. Az utóbbi minden

x

értékre negatív,

δ_{1} (x)

pozitív, ha

| x | > \sqrt[]{15} / 2

. Ebben az esetben

\begin{matrix} q_{1} (x) < p (x) < q_{3} (x) . \end{matrix}

Ha tehát

| x | \geq 2

, akkor

p (x_{0})

2 x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 1

és

2 x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 3

egész számok négyzete közé esik, így csak akkor lehet négyzetszám, ha egyenlő

2 x_{0}^{2} - 3 x_{0} + 2

négyzetével, azaz

δ_{2} (x_{0}) = 0

, amiből

x_{0} = 3

, és így

p (3) = 11^{2}

.
A még megvizsgálandó

| x_{0} | \leq 1

értékekhez tartozó

\begin{matrix} p (- 1) = 25, p (0) = - 14, p (1) = - 11 \end{matrix}

számok közül pedig csak egy ‐ az első ‐ négyzetszám.
Ezek szerint

p (x)

két egész

x

-re állít elő teljes négyzetet. smallskip
Reviczky János (Budapest, I. István Gimn.)

Megoldotta még Beck József, Maróti Péter, Martoni Viktor, Somorjai Gábor.
Jutalmul 50 Ft-os könyvutalványt kapott: Beck József, Martoni Viktor.