Feladat: Pontversenyen kívüli P.16 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beck József ,  Csirmaz László ,  Göndőcs Ferenc ,  Martoni Viktor ,  Somorjai Gábor 
Füzet: 1969/október, 69 - 70. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/december: Pontversenyen kívüli P.16

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A probléma első felét már megoldottuk az 1557. feladattal kapcsolatban *. Az ottani eredmény szerint az EFP▵ területe akkor maximális, ha Q felezi az OP szakaszt.
Legyen a továbbiakban Q az OP szakasz felezőpontja, húzzunk P-n át párhuzamosokat a szög száraival (azaz: tükrözzük az XOY szöget a Q pontra) és jelöljük a szárakon fellépő metszéspontokat E'-vel, F'-vel. Bebizonyítjuk, hogy a keresett optimális helyzetben e párhuzamos lesz az e'=E'F' egyenessel.

 

 

Párhuzamost húzva Q-n át a tetszőleges e-vel, könnyű belátni, hogy ez a szög mindkét szárát metszi, és E, F az e'-nek két oldalára esnek, egyikük vagy az OE', vagy az OF' szakaszra. Legyen F az OF' szakasz belső pontja. Ekkor Q-ra vonatkozó G tükörképe az E'P szakaszon van, s így belső pontja az EF szakasznak. Ezért az OEF▵ területe az OE'GF négyszög és az E'EG▵ területének összege. A négyszög területe egyenlő az OE'F'▵ területével, mert Q-ra vonatkozó tükörképükkel kiegészítve őket, mindkétszer az OE'PF' paralelogrammát kapjuk. Így az OEF▵ területe nagyobb az OE'F' területénél, hacsak e nem párhuzamos e'-vel. ‐ Állításunkát bebizonyítottuk.
 

Göndőcs Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. A feladat első részében nem szükséges feltenni, hogy P a szögtartomány belsejében van. Megoldásunk mindig érvényes, ha P az e egyenesnek ugyanazon az oldalán van, mint az XOY szögtartomány. Az ellenkező oldalon elhelyezkedő P pont esetén a párhuzamosan felvett egyenes nem metszi a szög szárait, csak meghosszabbításukat, ekkor nincs értelme a feladatnak.
Lényeges viszont a P-re vonatkozó kikötés a feladat második részében, hiszen ha P a szögtartományon kívül van, akkor az e=OP egyenesnek a szárakkal való metszéspontjai E≡F≡O, s így az OEF▵ területe 0.
*K. M. L. 37 (1968) 110. o.